Страница 61 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 15, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

Рис. 15

а

б

В

Для построения графика функции $g$, обратной к функции $f$, используется свойство симметрии их графиков относительно прямой $y=x$. Это означает, что если точка $(a, b)$ лежит на графике функции $f$, то точка $(b, a)$ будет лежать на графике функции $g$. Мы применим этот метод для каждого из представленных графиков.

а)

Рассмотрим график функции $f$, изображённый на рисунке а. Выберем на нём несколько точек с целочисленными координатами: $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Также можно заметить, что график имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Для построения графика обратной функции $g$ поменяем местами координаты $x$ и $y$ в каждой из этих точек. Получим точки, принадлежащие графику $g$: $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$. Вертикальная асимптота $x=0$ для функции $f$ преобразуется в горизонтальную асимптоту $y=0$ для функции $g$.

Соединив полученные точки плавной кривой и учитывая наличие горизонтальной асимптоты, мы построим график функции $g$. Этот график представляет собой показательную функцию, в данном случае $g(x)=2^x$.

Ответ: График функции $g$ — это кривая, симметричная графику $f$ относительно прямой $y=x$. Она проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс), приближаясь к ней при $x \to -\infty$.

б)

Рассмотрим график функции $f$, изображённый на рисунке б. Выберем на нём ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, -1)$ и $(4, -2)$. Область определения функции $f$: $D(f) = [0, +\infty)$. Область значений: $E(f) = (-\infty, 0]$.

Для построения графика обратной функции $g$ инвертируем координаты выбранных точек: $(0, 0)$, $(-1, 1)$ и $(-2, 4)$. Область определения и область значений для функции $g$ меняются местами по сравнению с $f$: $D(g) = (-\infty, 0]$ и $E(g) = [0, +\infty)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, получим график $g$. Этот график является левой ветвью параболы, заданной уравнением $y=x^2$ с ограничением на область определения.

Ответ: График функции $g$ — это кривая, симметричная графику $f$ относительно прямой $y=x$. Она представляет собой ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящую через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 4)$. График расположен во второй координатной четверти и определён для $x \le 0$.

в)

Рассмотрим график функции $f$, изображённый на рисунке в. Это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Выберем точки пересечения с осями координат: $(-2, 0)$ и $(0, 1)$.

Для построения графика обратной функции $g$, которая также будет прямой линией, поменяем местами координаты этих точек. Получим точки, принадлежащие графику $g$: $(0, -2)$ и $(1, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, -2)$ и $(1, 0)$, мы получим график функции $g$. Уравнение исходной прямой $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Уравнение обратной функции $g(x) = 2x - 2$.

Ответ: График функции $g$ — это прямая, симметричная графику $f$ относительно прямой $y=x$. Она проходит через точки $(1, 0)$ (пересечение с осью $x$) и $(0, -2)$ (пересечение с осью $y$).

29. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = 2x + 3;$

2) $y = x^2 - 1$, если $x \ge 0.$

1) Дана функция $y = 2x + 3$. Это линейная функция, ее график — прямая линия.

Сначала найдем функцию, обратную данной. Для этого в уравнении $y = 2x + 3$ поменяем местами переменные $x$ и $y$, а затем выразим $y$ через $x$:

$x = 2y + 3$
$2y = x - 3$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ или $y = 0.5x - 1.5$.
Это и есть обратная функция. Ее график также является прямой линией.

Для построения графика исходной функции $y = 2x + 3$ найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 2(0) + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
• Если $x = -1$, то $y = 2(-1) + 3 = 1$. Получаем точку $(-1; 1)$.

Проведем прямую через эти две точки, это и будет график функции $y = 2x + 3$.

Для построения графика обратной функции $y = 0.5x - 1.5$ также найдем координаты двух точек:

• Если $x = 3$, то $y = 0.5(3) - 1.5 = 1.5 - 1.5 = 0$. Получаем точку $(3; 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 0.5(1) - 1.5 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.

Проведем прямую через эти две точки. Заметим, что координаты точек обратной функции $(3; 0)$ и $(1; -1)$ можно было получить, поменяв местами координаты соответствующих точек исходной функции $(0; 3)$ и $(-1; 1)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 0.5x - 1.5$. Графиком исходной функции является прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(-1; 1)$. Графиком обратной функции является прямая, проходящая через точки $(3; 0)$ и $(1; -1)$. Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

2) Дана функция $y = x^2 - 1$ при условии $x \geq 0$. Графиком этой функции является правая ветвь параболы $y = x^2 - 1$, вершина которой находится в точке $(0; -1)$.

Область определения исходной функции $D(y) = [0; +\infty)$. Найдем ее область значений. Так как по условию $x \geq 0$, то $x^2 \geq 0$, и следовательно $x^2 - 1 \geq -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

Теперь найдем обратную функцию. Для этого в уравнении $y = x^2 - 1$ поменяем местами $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$:

$x = y^2 - 1$
$y^2 = x + 1$
$y = \pm\sqrt{x + 1}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \geq -1$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \geq 0$. Поскольку $y$ должно быть неотрицательным, мы выбираем знак "плюс" перед корнем.
Итак, обратная функция: $y = \sqrt{x + 1}$.

Для построения графика исходной функции $y = x^2 - 1$ при $x \geq 0$ найдем несколько точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 - 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2; 3)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график исходной функции.

Для построения графика обратной функции $y = \sqrt{x + 1}$ можно использовать точки, симметричные точкам исходного графика относительно прямой $y=x$:

• Точка $(-1; 0)$.
• Точка $(0; 1)$.
• Точка $(3; 2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, мы получим график обратной функции. Этот график является верхней ветвью параболы $x = y^2 - 1$, которая открывается вправо.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x+1}$. График исходной функции — правая ветвь параболы $y = x^2 - 1$ с вершиной в $(0; -1)$. График обратной функции — график функции $y = \sqrt{x+1}$, который является верхней ветвью параболы $x = y^2 - 1$ с началом в точке $(-1; 0)$. Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

30. Равносильны ли уравнения:

1) $x - 3 = 11$ и $\frac{1}{7} x = 2$;

2) $x = -8$ и $x^2 = 64$;

3) $x^2 = 7x$ и $x = 7$;

4) $\sqrt{x - 11} = -2$ и $|x - 11| = -4$;

5) $x - 10 = x - 10$ и $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$;

6) $x - 8 = x - 8$ и $\frac{x - 8}{x - 8} = 1$;

7) $x^2 - 8x + 16 = 0$ и $x - 4 = 0$;

8) $\frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} = 0$ и $x + 3 = 0$;

9) $x\sqrt{x - 8} = 0$ и $(x - 8)\sqrt{x} = 0$;

10) $\sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x + 5} = 0$ и $\sqrt{(x - 3)(x + 5)} = 0?$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если оба уравнения не имеют решений, они также считаются равносильными.

1) Решим первое уравнение: $x - 3 = 11$. Его единственным корнем является $x = 14$.
Решим второе уравнение: $\frac{1}{7}x = 2$. Умножив обе части на 7, получим $x = 14$.
Множества решений обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа 14), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

2) Первое уравнение $x = -8$ имеет единственный корень $x = -8$.
Второе уравнение $x^2 = 64$ имеет два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Множества решений уравнений не совпадают ($\{-8\}$ и $\{-8, 8\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

3) Решим первое уравнение: $x^2 = 7x$. Перенесем все в левую часть и вынесем $x$ за скобки: $x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(x-7) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Второе уравнение $x = 7$ имеет единственный корень $x=7$.
Множества решений не совпадают ($\{0, 7\}$ и $\{7\}$), так как первое уравнение имеет дополнительный корень $x=0$. Уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

4) В первом уравнении $\sqrt{x-11} = -2$ значение арифметического квадратного корня приравнивается к отрицательному числу, что невозможно. Следовательно, первое уравнение не имеет действительных решений.
Во втором уравнении $|x-11| = -4$ значение модуля приравнивается к отрицательному числу, что также невозможно. Второе уравнение тоже не имеет действительных решений.
Так как оба уравнения не имеют решений, их множества решений совпадают (являются пустыми). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

5) Первое уравнение $x - 10 = x - 10$ является тождеством, так как при переносе всех членов в одну сторону получаем $0=0$. Оно верно для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа $\mathbb{R}$.
Во втором уравнении $\frac{x^4+16}{x^4+16} = 1$ знаменатель $x^4+16$ никогда не равен нулю, так как $x^4 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, и значит $x^4+16 \ge 16$. Таким образом, уравнение определено для всех $x \in \mathbb{R}$ и является тождеством. Множество его решений — все действительные числа $\mathbb{R}$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

6) Первое уравнение $x - 8 = x - 8$ является тождеством. Множество его решений — все действительные числа $\mathbb{R}$.
Второе уравнение $\frac{x-8}{x-8} = 1$ определено только для тех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x-8 \neq 0$, или $x \neq 8$. На своей области определения ($x \in (-\infty, 8) \cup (8, \infty)$) уравнение является тождеством. Таким образом, его множество решений — все действительные числа, кроме 8.
Множества решений не совпадают ($\mathbb{R}$ и $\mathbb{R} \setminus \{8\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

7) Первое уравнение $x^2 - 8x + 16 = 0$ можно представить в виде $(x-4)^2=0$. Отсюда следует, что $x-4=0$, и единственным корнем является $x=4$.
Второе уравнение $x-4=0$ также имеет единственный корень $x=4$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

8) Решим первое уравнение $\frac{x^2+4x+3}{x+1} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Числитель: $x^2+4x+3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.
Знаменатель: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Исключая корень $x=-1$, получаем единственное решение $x=-3$.
Второе уравнение $x+3=0$ имеет единственный корень $x=-3$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

9) Рассмотрим первое уравнение $x\sqrt{x-8} = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $\sqrt{x-8}=0$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Из $\sqrt{x-8}=0$ следует $x=8$. Этот корень входит в ОДЗ. Единственное решение — $x=8$.
Рассмотрим второе уравнение $(x-8)\sqrt{x} = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$. Произведение равно нулю, если $x-8=0$ или $\sqrt{x}=0$. Отсюда получаем корни $x=8$ и $x=0$. Оба корня входят в ОДЗ. Множество решений: $\{0, 8\}$.
Множества решений не совпадают ($\{8\}$ и $\{0, 8\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

10) Рассмотрим первое уравнение $\sqrt{x-3} \cdot \sqrt{x+5} = 0$. ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $x \ge 3$. Решениями уравнения являются корни множителей: $\sqrt{x-3}=0 \Rightarrow x=3$ (входит в ОДЗ) и $\sqrt{x+5}=0 \Rightarrow x=-5$ (не входит в ОДЗ). Таким образом, единственное решение — $x=3$.
Рассмотрим второе уравнение $\sqrt{(x-3)(x+5)} = 0$. ОДЗ: $(x-3)(x+5) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [3, \infty)$. Уравнение равносильно $(x-3)(x+5)=0$, откуда $x=3$ или $x=-5$. Оба корня принадлежат ОДЗ. Множество решений: $\{-5, 3\}$.
Множества решений не совпадают ($\{3\}$ и $\{-5, 3\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.