Страница 58 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. На рисунке 12 изображена часть графика функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 5]$. Достройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 12

Нам дан график функции $y = g(x)$ на промежутке $[-5; -2]$. Чтобы достроить его на всём промежутке $[-5; 5]$, мы воспользуемся определениями чётной и нечётной функций.

1) чётной

Чётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = g(x)$ для всех $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы достроить график, нужно отразить заданную часть графика симметрично относительно оси OY. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика перейдёт в точку $(-x, y)$.

Ключевые точки заданной части графика:

• Начальная точка: $(-5, -2)$. Её симметричным отражением будет точка $(5, -2)$.
• Конечная точка: $(-2, 0)$. Её симметричным отражением будет точка $(2, 0)$.

Таким образом, мы достраиваем симметричную кривую на промежутке $[2, 5]$. Поскольку исходный график доходит до точки $(-2, 0)$ и не продолжается на интервале $(-2, 0)$, а достроенный начинается в точке $(2, 0)$, можно предположить, что на отрезке $[-2, 2]$ функция равна нулю. Это удовлетворяет условию чётности, так как $g(x)=0$ для $x \in [-2, 2]$ означает, что $g(-x)=0=g(x)$.

Итоговый график представлен на рисунке ниже. Исходная часть показана синим цветом, достроенная — красным.

Ответ: График функции достроен на рисунке.

2) нечётной

Нечётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = -g(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы достроить график, нужно отразить заданную часть графика симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика перейдёт в точку $(-x, -y)$.

Ключевые точки заданной части графика:

• Начальная точка: $(-5, -2)$. Её симметричным отражением будет точка $(5, 2)$.
• Конечная точка: $(-2, 0)$. Её симметричным отражением будет точка $(2, 0)$.

Таким образом, мы достраиваем симметричную кривую на промежутке $[2, 5]$. Как и в предыдущем случае, на отрезке $[-2, 2]$ функция, скорее всего, равна нулю. Это удовлетворяет условию нечётности, так как $g(x)=0$ для $x \in [-2, 2]$ означает, что $g(-x)=0$ и $-g(x)=-0=0$. Также выполняется обязательное для нечётных функций свойство $g(0)=0$.

Итоговый график представлен на рисунке ниже. Исходная часть показана синим цветом, достроенная — красным.

Ответ: График функции достроен на рисунке.

11. О функции $f$, определённой на множестве $\mathbf{R}$, известно, что $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки:

• Вершина параболы: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Координаты вершины: $(2, -4)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$. Нули функции: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
• Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Координаты: $(0, 0)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы имеем часть параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$, опускается до вершины в точке $(2, -4)$ и затем поднимается, проходя через точку $(4, 0)$.

Теперь рассмотрим два случая.

1) Функция является чётной

По определению, чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

Чтобы построить график для $x < 0$, нужно отразить уже построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси Oy.

Мы также можем найти аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство чётности:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$.

Итак, при $x < 0$ функция задается формулой $f(x) = x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$. Координаты вершины: $(-2, -4)$. Нули функции: $x = 0$ и $x = -4$.

Итоговая функция для всего множества R:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + 4x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Это можно записать одной формулой: $f(x) = x^2 - 4|x|$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = x^2 - 4x$ с вершиной в точке $(2, -4)$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = x^2 + 4x$ с вершиной в точке $(-2, -4)$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$. График напоминает букву W.

2) Функция является нечётной

По определению, нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы построить график для $x < 0$, нужно отразить уже построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно начала координат.

Найдем аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечётности:

$f(x) = -f(-x) = - ((-x)^2 - 4(-x)) = - (x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Итак, при $x < 0$ функция задается формулой $f(x) = -x^2 - 4x$. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$, $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$. Координаты вершины: $(-2, 4)$. Нули функции: $x = 0$ и $x = -4$.

Итоговая функция для всего множества R:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Это можно записать одной формулой: $f(x) = x|x| - 4x$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, симметричных относительно начала координат. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = x^2 - 4x$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(2, -4)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = -x^2 - 4x$ с ветвями вниз и вершиной в точке $(-2, 4)$. График проходит через точки $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

12. При каких значениях $c$ наибольшее значение функции $y = -3x^2 + 12x + c$ равно 3?

Данная функция $y = -3x^2 + 12x + c$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -3 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Для нашей функции коэффициенты равны $a = -3$ и $b = 12$. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции. Для этого подставим $x_0 = 2$ в исходное уравнение функции:

$y_{наиб} = -3(2)^2 + 12(2) + c$

$y_{наиб} = -3 \cdot 4 + 24 + c$

$y_{наиб} = -12 + 24 + c$

$y_{наиб} = 12 + c$

По условию задачи, наибольшее значение функции должно быть равно 3. Составим и решим уравнение:

$12 + c = 3$

$c = 3 - 12$

$c = -9$

Следовательно, при $c = -9$ наибольшее значение функции будет равно 3.

Ответ: -9

13. Сумма двух чисел равна 12. Какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел?

Пусть два числа, о которых идет речь в задаче, будут $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 12, что можно записать в виде уравнения:

$x + y = 12$

Нам необходимо найти наибольшее значение, которое может принимать их произведение $P = x \cdot y$.

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:

$y = 12 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $x$:

$P(x) = x \cdot (12 - x) = 12x - x^2$

Функция $P(x) = -x^2 + 12x$ является квадратичной. Ее график — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что парабола имеет точку максимума, которая является ее вершиной.

Координата $x_0$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 12$. Найдем $x_0$:

$x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = -\frac{12}{-2} = 6$

Это значение $x$, при котором произведение $P$ достигает своего максимума. Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$

Таким образом, произведение будет наибольшим, когда оба числа равны 6. Вычислим это максимальное значение:

$P_{max} = 6 \cdot 6 = 36$

Ответ: 36

14. Чётная функция $f$ имеет 9 нулей. Найдите $f(0)$.

По определению, чётная функция $f(x)$ — это функция, у которой для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Нуль функции — это такое значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

Рассмотрим свойство нулей для чётной функции. Пусть $x_0$ — это нуль функции $f$, и при этом $x_0 \neq 0$. Тогда по определению нуля функции $f(x_0) = 0$. Поскольку функция $f$ является чётной, должно выполняться равенство $f(-x_0) = f(x_0)$. Следовательно, $f(-x_0) = 0$, что означает, что $-x_0$ также является нулём функции $f$. Таким образом, все ненулевые нули чётной функции существуют парами: если $x_0$ — нуль, то и $-x_0$ — тоже нуль. Это означает, что количество ненулевых нулей у чётной функции всегда является чётным числом.

В условии задачи сказано, что функция имеет 9 нулей. Число 9 — нечётное. Если бы все нули были ненулевыми, их общее количество было бы чётным, так как они бы разбились на пары $(x_i, -x_i)$. Нечётное количество нулей возможно только в том случае, если один из нулей не имеет пары. Единственное число, для которого $x = -x$, — это $x = 0$.

Значит, $x = 0$ обязательно является одним из нулей функции $f$. Остальные 8 нулей образуют 4 симметричные пары.

Поскольку $x=0$ является нулём функции $f$, это по определению означает, что значение функции в этой точке равно нулю: $f(0) = 0$.

Ответ: $0$

15. Функция $f$ такова, что $\min_{[1;6]} f(x) = -5$, $\max_{[1;6]} f(x) = 8$.

Найдите $\min_{[-6;-1]} f(x)$, $\max_{[-6;-1]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

1) f — чётная функция

По определению, чётная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения.
Это означает, что если $x$ принадлежит отрезку $[-6; -1]$, то $-x$ принадлежит отрезку $[1; 6]$, и при этом значения функции в этих точках равны: $f(x) = f(-x)$.
Следовательно, множество значений, которые функция $f$ принимает на отрезке $[-6; -1]$, в точности совпадает с множеством значений, которые она принимает на отрезке $[1; 6]$.
Поэтому минимальное и максимальное значения функции на этих двух отрезках будут одинаковыми.
$\min_{[-6;-1]} f(x) = \min_{[1;6]} f(x) = -5$.
$\max_{[-6;-1]} f(x) = \max_{[1;6]} f(x) = 8$.
Ответ: $\min_{[-6;-1]} f(x) = -5$, $\max_{[-6;-1]} f(x) = 8$.

2) f — нечётная функция

По определению, нечётная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из её области определения.
Если $x$ принадлежит отрезку $[-6; -1]$, то $-x$ принадлежит отрезку $[1; 6]$. Значение функции в точке $x$ можно выразить как $f(x) = -f(-x)$.
Это значит, что множество значений функции на отрезке $[-6; -1]$ состоит из чисел, противоположных значениям функции на отрезке $[1; 6]$.
Чтобы найти минимальное значение функции на отрезке $[-6; -1]$, воспользуемся свойством $\min(-g(x)) = -\max(g(x))$.
$\min_{[-6;-1]} f(x) = \min_{x \in [-6;-1]} (-f(-x))$. Сделаем замену $t = -x$, тогда $t \in [1; 6]$.
$\min_{[-6;-1]} f(x) = \min_{t \in [1;6]} (-f(t)) = -\max_{t \in [1;6]} f(t) = -8$.
Чтобы найти максимальное значение функции на отрезке $[-6; -1]$, воспользуемся свойством $\max(-g(x)) = -\min(g(x))$.
$\max_{[-6;-1]} f(x) = \max_{x \in [-6;-1]} (-f(-x))$. Сделаем замену $t = -x$, тогда $t \in [1; 6]$.
$\max_{[-6;-1]} f(x) = \max_{t \in [1;6]} (-f(t)) = -\min_{t \in [1;6]} f(t) = -(-5) = 5$.
Ответ: $\min_{[-6;-1]} f(x) = -8$, $\max_{[-6;-1]} f(x) = 5$.

16. При каких значениях $a$ функция $f(x) = 3x^3 - 8x - 5a$ является нечётной?

Функция $f(x)$ является нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Область определения функции $f(x) = 3x^3 - 8x - 5a$ — это множество всех действительных чисел $R$, которое симметрично относительно нуля. Следовательно, нам нужно только проверить выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$.

1. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 3(-x)^3 - 8(-x) - 5a = -3x^3 + 8x - 5a$.

2. Найдём выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(3x^3 - 8x - 5a) = -3x^3 + 8x + 5a$.

3. Приравняем полученные выражения, чтобы найти значение $a$, при котором функция будет нечётной:

$f(-x) = -f(x)$

$-3x^3 + 8x - 5a = -3x^3 + 8x + 5a$

Это равенство должно выполняться для любого значения $x$. Упростим его, вычитая из обеих частей одинаковые слагаемые $-3x^3$ и $8x$:

$-5a = 5a$

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$5a + 5a = 0$

$10a = 0$

$a = 0$

Следовательно, функция $f(x)$ является нечётной только при $a=0$.

Ответ: $a=0$.