Страница 53 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Найдите точки максимума и минимума функции:

1) $f(x) = 2x^6;$

2) $f(x) = 10x - x^2;$

3) $f(x) = x^3 - 12x - 2;$

4) $f(x) = x^4 - 8x^3 + 10x^2 - 11.$

1) f(x) = 2x⁶

Для нахождения точек максимума и минимума функции, необходимо найти ее производную, найти критические точки (где производная равна нулю или не существует) и определить, как меняется знак производной при переходе через эти точки.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^6)' = 2 \cdot 6x^{5} = 12x^5$.

2. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
$12x^5 = 0 \implies x = 0$.

3. Анализируем знак производной слева и справа от критической точки $x=0$.
При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$, точек максимума нет.

2) f(x) = 10x - x²

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (10x - x^2)' = 10 - 2x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$10 - 2x = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5$.

3. Анализируем знак производной слева и справа от точки $x=5$.
При $x < 5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x > 5$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус, точка $x=5$ является точкой максимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 5$, точек минимума нет.

3) f(x) = x³ - 12x - 2

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 12x - 2)' = 3x^2 - 12$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4) = 0 \implies x^2 = 4$.
Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

3. Анализируем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$.
- На интервале $(-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 15 > 0$, функция возрастает. - На интервале $(-2, 2)$ (например, $x=0$): $f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0$, функция убывает. - На интервале $(2, \infty)$ (например, $x=3$): $f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 15 > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.
В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -2$, точка минимума $x_{min} = 2$.

4) f(x) = x⁴ - 8x³ + 10x² - 11

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 8x^3 + 10x^2 - 11)' = 4x^3 - 24x^2 + 20x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 24x^2 + 20x = 0$
$4x(x^2 - 6x + 5) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^2 - 6x + 5 = 0$.
Корни квадратного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Критические точки: $x=0$, $x=1$, $x=5$.

3. Анализируем знак производной $f'(x) = 4x(x-1)(x-5)$ на интервалах.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (1, 5)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (5, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума.
В точке $x = 5$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.

Ответ: точки минимума $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 5$; точка максимума $x_{max} = 1$.

304. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x)=x^4+5x^3-11$;

2) $f(x)=(x+1)^2(x-3)^2$.

305. Определите, имеет ли данная функция точки экстремума:

1) $f(x) = 2x^7$;

2) $f(x) = \sqrt[4]{x^3}$;

3) $f(x) = \sqrt[7]{x^4}$;

4) $f(x) = \cos x - x$.

1) f(x) = 2x⁷

Для определения наличия точек экстремума, найдем производную функции и ее критические точки.
Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Производная функции:
$f'(x) = (2x^7)' = 2 \cdot 7x^{7-1} = 14x^6$.
Критические точки находим, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$14x^6 = 0 \implies x = 0$.
Это единственная критическая точка. Теперь исследуем знак производной в окрестности этой точки.
Так как степень $6$ является четной, $x^6 \ge 0$ для любого действительного числа $x$.
Следовательно, $f'(x) = 14x^6 \ge 0$ для всех $x$.
Производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$. Она положительна как слева, так и справа от нуля (и равна нулю в самой точке). Таким образом, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, и точка $x=0$ является точкой перегиба, а не экстремума.
Ответ: Точек экстремума нет.

2) f(x) = ⁴√x³

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{3/4}$.
Область определения функции задается условием $x^3 \ge 0$, так как корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Отсюда $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.
Находим производную:
$f'(x) = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-1/4} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.
Находим критические точки.
1. Решаем $f'(x) = 0$: $\frac{3}{4\sqrt[4]{x}} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю.
2. Находим точки, где производная не существует. Производная не определена при $x=0$. Эта точка принадлежит области определения функции, следовательно, $x=0$ — критическая точка.
Поскольку область определения функции $x \ge 0$, мы исследуем знак производной на интервале $(0, +\infty)$.
Для любого $x > 0$, $\sqrt[4]{x} > 0$, поэтому $f'(x) = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}} > 0$.
Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Точка $x=0$ является левой границей области определения. Так как функция возрастает, в этой точке она принимает свое наименьшее значение $f(0)=0$. Следовательно, $x=0$ является точкой минимума.
Ответ: Функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

3) f(x) = ⁷√x⁴

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{4/7}$.
Область определения функции: корень нечетной степени определен для любых действительных чисел, поэтому $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Находим производную:
$f'(x) = (x^{4/7})' = \frac{4}{7}x^{\frac{4}{7}-1} = \frac{4}{7}x^{-3/7} = \frac{4}{7\sqrt[7]{x^3}}$.
Находим критические точки.
1. Решаем $f'(x) = 0$: $\frac{4}{7\sqrt[7]{x^3}} = 0$. Уравнение не имеет решений.
2. Находим точки, где производная не существует. Производная не определена при $x=0$. Точка $x=0$ принадлежит области определения функции, значит, это критическая точка.
Исследуем знак производной слева и справа от $x=0$.
- При $x < 0$, $x^3 < 0$, и $\sqrt[7]{x^3} < 0$. Значит, $f'(x) = \frac{4}{7(\text{отрицательное число})} < 0$.
- При $x > 0$, $x^3 > 0$, и $\sqrt[7]{x^3} > 0$. Значит, $f'(x) = \frac{4}{7(\text{положительное число})} > 0$.
Производная меняет знак с «–» на «+» при переходе через точку $x=0$. Следовательно, $x=0$ является точкой локального минимума.
Ответ: Функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

4) f(x) = cos x – x

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Находим производную:
$f'(x) = (\cos x - x)' = -\sin x - 1$.
Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = -1$.
Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь исследуем знак производной. Известно, что область значений функции синус – $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Тогда для производной $f'(x) = -\sin x - 1$ имеем:
$-1 \le \sin x \le 1$
$-1 \le -\sin x \le 1$
$-1 - 1 \le -\sin x - 1 \le 1 - 1$
$-2 \le f'(x) \le 0$.
Производная функции всегда неположительна ($f'(x) \le 0$). Она обращается в ноль только в критических точках, а во всех остальных точках она отрицательна. Поскольку производная не меняет знак, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой. Следовательно, у функции нет точек экстремума.
Ответ: Точек экстремума нет.

306. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$;

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 3}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$.

1) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{2x - 1}{x + 3}\right)' = \frac{(2x - 1)'(x + 3) - (2x - 1)(x + 3)'}{(x + 3)^2} = \frac{2(x + 3) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{2x + 6 - 2x + 1}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}$.

3. Найдём критические точки. Производная $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 7. Производная не определена в точке $x = -3$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах. Так как числитель $7 > 0$ и знаменатель $(x + 3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

5. Следовательно, функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; +\infty)$, точек экстремума нет.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$

1. Область определения функции: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 3}{x + 2}\right)' = \frac{(x^2 - 3)'(x + 2) - (x^2 - 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{2x(x + 2) - (x^2 - 3) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 3}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2}$.

3. Найдём критические точки. Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0$.
Корни уравнения: $(x + 3)(x + 1) = 0$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = -1$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками и точкой разрыва: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 4x + 3$.
- На интервале $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-3; -2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[-1; +\infty)$; убывает на промежутках $[-3; -2)$ и $(-2; -1]$; $x_{max} = -3$, $x_{min} = -1$.

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 3}$

1. Область определения функции: знаменатель $x^2 + 3 > 0$ для любых $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{x^3}{x^2 + 3}\right)' = \frac{(x^3)'(x^2 + 3) - x^3(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^2(x^2 + 3) - x^3(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^4 + 9x^2 - 2x^4}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^4 + 9x^2}{(x^2 + 3)^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^4 + 9x^2}{(x^2 + 3)^2} = 0 \Rightarrow x^4 + 9x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 + 9) = 0$.
Так как $x^2 + 9 > 0$, единственное решение — $x^2 = 0$, то есть $x = 0$.

4. Определим знаки производной. Выражение $f'(x) = \frac{x^2(x^2+9)}{(x^2+3)^2}$ неотрицательно для всех $x$, так как все множители в числителе и знаменателе неотрицательны. Производная равна нулю только в точке $x = 0$.

5. Так как $f'(x) \ge 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль в одной точке, функция монотонно возрастает. Точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$

1. Область определения функции: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 3x}{x + 1}\right)' = \frac{(x^2 - 3x)'(x + 1) - (x^2 - 3x)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$.
Корни уравнения: $(x + 3)(x - 1) = 0$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 2x - 3$.
- На интервале $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-3; -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутках $[-3; -1)$ и $(-1; 1]$; $x_{max} = -3$, $x_{min} = 1$.

307. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2 \sqrt{4-x}$;

2) $f(x) = \sin 3x + \frac{3}{2}x$.

1) $f(x) = x^2\sqrt{4-x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x \ge 0$, что означает $x \le 4$.
Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty, 4]$.

2. Найти производную функции.
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{4-x} + x^2(\sqrt{4-x})' = 2x\sqrt{4-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{4-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{4-x}}$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{4-x} \cdot 2\sqrt{4-x} - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{4x(4-x) - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x - 5x^2}{2\sqrt{4-x}}$.

3. Найти критические точки.
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти точки, где $f'(x) = 0$:
$16x - 5x^2 = 0 \implies x(16 - 5x) = 0$.
Отсюда получаем две точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{16}{5} = 3.2$. Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{4-x} = 0$, что происходит при $x = 4$. Все эти точки ($0$, $3.2$ и $4$) принадлежат области определения функции.

4. Определить знаки производной на интервалах.
Критические точки разбивают область определения $(-\infty, 4]$ на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 3.2)$ и $(3.2, 4)$. Знак производной на этих интервалах определяется знаком числителя $16x - 5x^2 = x(16-5x)$, так как знаменатель $2\sqrt{4-x}$ положителен для всех $x < 4$.

• При $x \in (-\infty, 0)$: $x < 0$ и $(16-5x) > 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0, 3.2)$: $x > 0$ и $(16-5x) > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3.2, 4)$: $x > 0$ и $(16-5x) < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

5. Сделать выводы.
- Промежуток возрастания: $[0, \frac{16}{5}]$. - Промежутки убывания: $(-\infty, 0]$ и $[\frac{16}{5}, 4]$. - В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума: $x_{min} = 0$. - В точке $x=\frac{16}{5}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума: $x_{max} = \frac{16}{5}$. - Точка $x=4$ является концом области определения. Поскольку функция убывает на интервале $[\frac{16}{5}, 4]$, точка $x=4$ является точкой локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 16/5]$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[16/5, 4]$; точки экстремума: $x_{min} = 0$, $x_{max} = 16/5$, $x_{min} = 4$.

2) $f(x) = \sin(3x) + \frac{3}{2}x$

1. Найти область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, т.е. $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Найти производную функции.
$f'(x) = (\sin(3x))' + (\frac{3}{2}x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' + \frac{3}{2} = 3\cos(3x) + \frac{3}{2}$.

3. Найти критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$3\cos(3x) + \frac{3}{2} = 0 \implies 3\cos(3x) = -\frac{3}{2} \implies \cos(3x) = -\frac{1}{2}$.
Решения этого тригонометрического уравнения: $3x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. $3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Отсюда критические точки: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Определить промежутки возрастания и убывания.
- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$3\cos(3x) + \frac{3}{2} > 0 \implies \cos(3x) > -\frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделив на 3, получаем промежутки возрастания: $-\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$3\cos(3x) + \frac{3}{2} < 0 \implies \cos(3x) < -\frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделив на 3, получаем промежутки убывания: $\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

5. Найти точки экстремума.
- В точках $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точки максимума. - В точках $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[-\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $\left[\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$; точки максимума: $x_{max} = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; точки минимума: $x_{min} = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

308. Найдите, при каких значениях a функция

$f(x) = \sin^2 x - (2a + 1)x$:

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - (2a + 1)x$. Эта функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых ее производная равна нулю или не существует. Так как данная функция дифференцируема на всей числовой оси, ее критические точки — это корни уравнения $f'(x) = 0$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin^2 x)' - ((2a + 1)x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (2a + 1) = 2\sin x \cos x - (2a + 1)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:
$f'(x) = \sin(2x) - (2a + 1)$.

1) не имеет критических точек;

Функция не имеет критических точек, если уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений.
$ \sin(2x) - (2a + 1) = 0 $
$ \sin(2x) = 2a + 1 $

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Следовательно, уравнение не будет иметь решений, если значение выражения $2a + 1$ находится вне этого отрезка. Это условие можно записать в виде совокупности двух неравенств:
$ 2a + 1 > 1 $ или $ 2a + 1 < -1 $.

Решим каждое неравенство:
1) $ 2a + 1 > 1 \implies 2a > 0 \implies a > 0 $.
2) $ 2a + 1 < -1 \implies 2a < -2 \implies a < -1 $.

Объединяя решения, получаем, что функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

2) не имеет точек экстремума.

Точки экстремума (минимума или максимума) могут существовать только в критических точках. Для того чтобы критическая точка являлась точкой экстремума, необходимо, чтобы производная $f'(x)$ меняла знак при переходе через эту точку.
Функция не будет иметь точек экстремума в двух случаях:
а) у функции нет критических точек;
б) критические точки существуют, но производная в них не меняет свой знак.

Случай а) был рассмотрен в пункте 1. Функция не имеет критических точек (а значит, и точек экстремума) при $a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Рассмотрим случай б). Критические точки существуют, если уравнение $f'(x) = 0$ имеет решения, то есть когда $-1 \le 2a + 1 \le 1$. Решим это двойное неравенство:
$ -1 - 1 \le 2a \le 1 - 1 $
$ -2 \le 2a \le 0 $
$ -1 \le a \le 0 $

Теперь проанализируем, меняет ли знак производная $f'(x) = \sin(2x) - (2a + 1)$ при этих значениях $a$.
Если $-1 < a < 0$, то $-1 < 2a+1 < 1$. В этом случае график функции $y = \sin(2x)$ пересекает прямую $y = 2a+1$. Значит, производная $f'(x)$ будет принимать как положительные, так и отрицательные значения, меняя знак в точках пересечения. Следовательно, при $-1 < a < 0$ функция имеет точки экстремума.

Остается рассмотреть граничные значения: $a = -1$ и $a = 0$.
При $a = 0$:
$ f'(x) = \sin(2x) - (2 \cdot 0 + 1) = \sin(2x) - 1 $.
Так как $\sin(2x) \le 1$ для любого $x$, то $f'(x) = \sin(2x) - 1 \le 0$ для любого $x$. Производная всегда неположительна. В критических точках, где $\sin(2x) = 1$, она равна нулю, но не меняет своего знака. Следовательно, при $a = 0$ функция не имеет точек экстремума.

При $a = -1$:
$ f'(x) = \sin(2x) - (2 \cdot (-1) + 1) = \sin(2x) - (-1) = \sin(2x) + 1 $.
Так как $\sin(2x) \ge -1$ для любого $x$, то $f'(x) = \sin(2x) + 1 \ge 0$ для любого $x$. Производная всегда неотрицательна. В критических точках, где $\sin(2x) = -1$, она равна нулю, но не меняет своего знака. Следовательно, при $a = -1$ функция не имеет точек экстремума.

Объединяя все случаи, в которых функция не имеет точек экстремума, получаем:
$a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$ (случай а), а также $a = -1$ и $a = 0$ (случай б).
Итоговое множество значений $a$: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.
Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.