Номер 305, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Определите, имеет ли данная функция точки экстремума:

1) $f(x) = 2x^7$;

2) $f(x) = \sqrt[4]{x^3}$;

3) $f(x) = \sqrt[7]{x^4}$;

4) $f(x) = \cos x - x$.

1) f(x) = 2x⁷

Для определения наличия точек экстремума, найдем производную функции и ее критические точки.
Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Производная функции:
$f'(x) = (2x^7)' = 2 \cdot 7x^{7-1} = 14x^6$.
Критические точки находим, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$14x^6 = 0 \implies x = 0$.
Это единственная критическая точка. Теперь исследуем знак производной в окрестности этой точки.
Так как степень $6$ является четной, $x^6 \ge 0$ для любого действительного числа $x$.
Следовательно, $f'(x) = 14x^6 \ge 0$ для всех $x$.
Производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$. Она положительна как слева, так и справа от нуля (и равна нулю в самой точке). Таким образом, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, и точка $x=0$ является точкой перегиба, а не экстремума.
Ответ: Точек экстремума нет.

2) f(x) = ⁴√x³

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{3/4}$.
Область определения функции задается условием $x^3 \ge 0$, так как корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Отсюда $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.
Находим производную:
$f'(x) = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-1/4} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.
Находим критические точки.
1. Решаем $f'(x) = 0$: $\frac{3}{4\sqrt[4]{x}} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю.
2. Находим точки, где производная не существует. Производная не определена при $x=0$. Эта точка принадлежит области определения функции, следовательно, $x=0$ — критическая точка.
Поскольку область определения функции $x \ge 0$, мы исследуем знак производной на интервале $(0, +\infty)$.
Для любого $x > 0$, $\sqrt[4]{x} > 0$, поэтому $f'(x) = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}} > 0$.
Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Точка $x=0$ является левой границей области определения. Так как функция возрастает, в этой точке она принимает свое наименьшее значение $f(0)=0$. Следовательно, $x=0$ является точкой минимума.
Ответ: Функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

3) f(x) = ⁷√x⁴

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{4/7}$.
Область определения функции: корень нечетной степени определен для любых действительных чисел, поэтому $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Находим производную:
$f'(x) = (x^{4/7})' = \frac{4}{7}x^{\frac{4}{7}-1} = \frac{4}{7}x^{-3/7} = \frac{4}{7\sqrt[7]{x^3}}$.
Находим критические точки.
1. Решаем $f'(x) = 0$: $\frac{4}{7\sqrt[7]{x^3}} = 0$. Уравнение не имеет решений.
2. Находим точки, где производная не существует. Производная не определена при $x=0$. Точка $x=0$ принадлежит области определения функции, значит, это критическая точка.
Исследуем знак производной слева и справа от $x=0$.
- При $x < 0$, $x^3 < 0$, и $\sqrt[7]{x^3} < 0$. Значит, $f'(x) = \frac{4}{7(\text{отрицательное число})} < 0$.
- При $x > 0$, $x^3 > 0$, и $\sqrt[7]{x^3} > 0$. Значит, $f'(x) = \frac{4}{7(\text{положительное число})} > 0$.
Производная меняет знак с «–» на «+» при переходе через точку $x=0$. Следовательно, $x=0$ является точкой локального минимума.
Ответ: Функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

4) f(x) = cos x – x

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Находим производную:
$f'(x) = (\cos x - x)' = -\sin x - 1$.
Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = -1$.
Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь исследуем знак производной. Известно, что область значений функции синус – $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Тогда для производной $f'(x) = -\sin x - 1$ имеем:
$-1 \le \sin x \le 1$
$-1 \le -\sin x \le 1$
$-1 - 1 \le -\sin x - 1 \le 1 - 1$
$-2 \le f'(x) \le 0$.
Производная функции всегда неположительна ($f'(x) \le 0$). Она обращается в ноль только в критических точках, а во всех остальных точках она отрицательна. Поскольку производная не меняет знак, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой. Следовательно, у функции нет точек экстремума.
Ответ: Точек экстремума нет.