Номер 306, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$;

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 3}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$.

1) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{2x - 1}{x + 3}\right)' = \frac{(2x - 1)'(x + 3) - (2x - 1)(x + 3)'}{(x + 3)^2} = \frac{2(x + 3) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{2x + 6 - 2x + 1}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}$.

3. Найдём критические точки. Производная $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 7. Производная не определена в точке $x = -3$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах. Так как числитель $7 > 0$ и знаменатель $(x + 3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

5. Следовательно, функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; +\infty)$, точек экстремума нет.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$

1. Область определения функции: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 3}{x + 2}\right)' = \frac{(x^2 - 3)'(x + 2) - (x^2 - 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{2x(x + 2) - (x^2 - 3) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 3}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2}$.

3. Найдём критические точки. Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0$.
Корни уравнения: $(x + 3)(x + 1) = 0$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = -1$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками и точкой разрыва: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 4x + 3$.
- На интервале $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-3; -2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[-1; +\infty)$; убывает на промежутках $[-3; -2)$ и $(-2; -1]$; $x_{max} = -3$, $x_{min} = -1$.

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 3}$

1. Область определения функции: знаменатель $x^2 + 3 > 0$ для любых $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{x^3}{x^2 + 3}\right)' = \frac{(x^3)'(x^2 + 3) - x^3(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^2(x^2 + 3) - x^3(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^4 + 9x^2 - 2x^4}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^4 + 9x^2}{(x^2 + 3)^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^4 + 9x^2}{(x^2 + 3)^2} = 0 \Rightarrow x^4 + 9x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 + 9) = 0$.
Так как $x^2 + 9 > 0$, единственное решение — $x^2 = 0$, то есть $x = 0$.

4. Определим знаки производной. Выражение $f'(x) = \frac{x^2(x^2+9)}{(x^2+3)^2}$ неотрицательно для всех $x$, так как все множители в числителе и знаменателе неотрицательны. Производная равна нулю только в точке $x = 0$.

5. Так как $f'(x) \ge 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль в одной точке, функция монотонно возрастает. Точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$

1. Область определения функции: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 3x}{x + 1}\right)' = \frac{(x^2 - 3x)'(x + 1) - (x^2 - 3x)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$.
Корни уравнения: $(x + 3)(x - 1) = 0$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 2x - 3$.
- На интервале $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-3; -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутках $[-3; -1)$ и $(-1; 1]$; $x_{max} = -3$, $x_{min} = 1$.