gdz.top
Номер 311, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции - номер 311, страница 54.
№310
№311 (с. 54)
Условие. №311 (с. 54)
311. Представьте число 50 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Решение. №311 (с. 54)
Пусть искомые положительные числа равны $x$ и $y$.
По условию задачи, их сумма равна 50, что можно записать в виде уравнения:
$x + y = 50$
Сумма их квадратов, которую необходимо сделать наименьшей, равна:
$S = x^2 + y^2$
Чтобы найти минимум этой суммы, выразим $S$ как функцию одной переменной. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 50 - x$
Теперь подставим это выражение в формулу для $S$:
$S(x) = x^2 + (50 - x)^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$S(x) = x^2 + (50^2 - 2 \cdot 50 \cdot x + x^2) = x^2 + 2500 - 100x + x^2$
$S(x) = 2x^2 - 100x + 2500$
Полученное выражение является квадратичной функцией от $x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Следовательно, функция имеет точку минимума.
Наименьшее значение квадратичной функции достигается в её вершине. Абсциссу вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находим по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a = 2$, $b = -100$. Вычислим значение $x$, при котором $S$ будет наименьшей:
$x = -\frac{-100}{2 \cdot 2} = \frac{100}{4} = 25$
Таким образом, одно из чисел равно 25.
Найдем второе число, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 50 - x = 50 - 25 = 25$
Оба числа (25 и 25) являются положительными, что удовлетворяет условию задачи. Таким образом, для того чтобы сумма квадратов была наименьшей, число 50 нужно представить в виде суммы двух одинаковых чисел.
Ответ: 50 = 25 + 25.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 311 расположенного на странице 54 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №311 (с. 54), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.