Номер 307, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

307. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2 \sqrt{4-x}$;

2) $f(x) = \sin 3x + \frac{3}{2}x$.

1) $f(x) = x^2\sqrt{4-x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x \ge 0$, что означает $x \le 4$.
Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty, 4]$.

2. Найти производную функции.
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{4-x} + x^2(\sqrt{4-x})' = 2x\sqrt{4-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{4-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{4-x}}$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{4-x} \cdot 2\sqrt{4-x} - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{4x(4-x) - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x - 5x^2}{2\sqrt{4-x}}$.

3. Найти критические точки.
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти точки, где $f'(x) = 0$:
$16x - 5x^2 = 0 \implies x(16 - 5x) = 0$.
Отсюда получаем две точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{16}{5} = 3.2$. Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{4-x} = 0$, что происходит при $x = 4$. Все эти точки ($0$, $3.2$ и $4$) принадлежат области определения функции.

4. Определить знаки производной на интервалах.
Критические точки разбивают область определения $(-\infty, 4]$ на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 3.2)$ и $(3.2, 4)$. Знак производной на этих интервалах определяется знаком числителя $16x - 5x^2 = x(16-5x)$, так как знаменатель $2\sqrt{4-x}$ положителен для всех $x < 4$.

• При $x \in (-\infty, 0)$: $x < 0$ и $(16-5x) > 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0, 3.2)$: $x > 0$ и $(16-5x) > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3.2, 4)$: $x > 0$ и $(16-5x) < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

5. Сделать выводы.
- Промежуток возрастания: $[0, \frac{16}{5}]$. - Промежутки убывания: $(-\infty, 0]$ и $[\frac{16}{5}, 4]$. - В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума: $x_{min} = 0$. - В точке $x=\frac{16}{5}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума: $x_{max} = \frac{16}{5}$. - Точка $x=4$ является концом области определения. Поскольку функция убывает на интервале $[\frac{16}{5}, 4]$, точка $x=4$ является точкой локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 16/5]$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[16/5, 4]$; точки экстремума: $x_{min} = 0$, $x_{max} = 16/5$, $x_{min} = 4$.

2) $f(x) = \sin(3x) + \frac{3}{2}x$

1. Найти область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, т.е. $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Найти производную функции.
$f'(x) = (\sin(3x))' + (\frac{3}{2}x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' + \frac{3}{2} = 3\cos(3x) + \frac{3}{2}$.

3. Найти критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$3\cos(3x) + \frac{3}{2} = 0 \implies 3\cos(3x) = -\frac{3}{2} \implies \cos(3x) = -\frac{1}{2}$.
Решения этого тригонометрического уравнения: $3x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. $3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Отсюда критические точки: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Определить промежутки возрастания и убывания.
- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$3\cos(3x) + \frac{3}{2} > 0 \implies \cos(3x) > -\frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделив на 3, получаем промежутки возрастания: $-\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$3\cos(3x) + \frac{3}{2} < 0 \implies \cos(3x) < -\frac{1}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделив на 3, получаем промежутки убывания: $\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

5. Найти точки экстремума.
- В точках $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точки максимума. - В точках $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[-\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $\left[\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$; точки максимума: $x_{max} = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; точки минимума: $x_{min} = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.