Номер 301, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

301. Найдите, при каких значениях $a$ возрастает на $R$ функция:

1) $f(x) = (a-2)x^2 + 4x - 9$;

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} + 4x - 10$.

1) f(x) = (a - 2)x² + 4x - 9;

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой $R$, ее производная должна быть неотрицательной для всех $x \in R$, то есть $f'(x) \geq 0$.

Найдем производную данной функции:

$f'(x) = ((a - 2)x^2 + 4x - 9)' = 2(a - 2)x + 4$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$2(a - 2)x + 4 \geq 0$ для всех $x \in R$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Оно будет выполняться для всех $x$ только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, иначе функция $f'(x)$ будет принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:

$2(a - 2) = 0$

$a - 2 = 0$

$a = 2$

Проверим, выполняется ли неравенство при $a=2$:

$f'(x) = 2(2 - 2)x + 4 = 0 \cdot x + 4 = 4$.

Так как $4 \geq 0$, неравенство выполняется для всех $x \in R$. Следовательно, функция возрастает на $R$ только при $a=2$. При этом значении $a$ исходная функция становится линейной: $f(x) = 4x - 9$.

Ответ: $a=2$.

2) f(x) = $\frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} + 4x - 10$.

Как и в предыдущем случае, для возрастания функции на $R$ необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна на всей числовой прямой: $f'(x) \geq 0$ для всех $x \in R$.

Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} + 4x - 10)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{2ax}{2} + 4 = x^2 - ax + 4$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$x^2 - ax + 4 \geq 0$ для всех $x \in R$.

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y = x^2 - ax + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Чтобы такая парабола была всегда неотрицательной (то есть находилась выше оси Ox или касалась ее), соответствующее квадратное уравнение $x^2 - ax + 4 = 0$ должно иметь не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше или равен нулю ($D \leq 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Решим неравенство $D \leq 0$:

$a^2 - 16 \leq 0$

$(a - 4)(a + 4) \leq 0$

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $a = -4$ и $a = 4$, включая концы.

$-4 \leq a \leq 4$.

Ответ: $a \in [-4; 4]$.