Номер 300, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

300. Докажите, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ является возрастающей.

Для того чтобы доказать, что функция является возрастающей на всей своей области определения, достаточно показать, что ее производная неотрицательна (в данном случае, строго положительна) для всех действительных значений аргумента.

Заданная функция: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$.

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$.

Используем правила дифференцирования, в частности, правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5\right)' = \frac{1}{3}(x^3)' - \frac{1}{2}(x^2)' + (x)' - (5)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 - 0$

$f'(x) = x^2 - x + 1$

2. Исследуем знак производной $f'(x)$.

Производная $f'(x) = x^2 - x + 1$ представляет собой квадратичную функцию. Ее график - парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Чтобы определить знак этой функции, найдем ее дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратный трехчлен $x^2 - x + 1$ не имеет действительных корней, то есть уравнение $x^2 - x + 1 = 0$ не имеет решений. Это означает, что график функции $f'(x)$ не пересекает ось абсцисс (Ox).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола лежит выше этой оси. Следовательно, $f'(x) > 0$ для любого действительного значения $x$.

Это также можно показать, выделив полный квадрат:

$f'(x) = x^2 - x + 1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ равно $\frac{3}{4}$, что больше нуля. Таким образом, $f'(x) \ge \frac{3}{4} > 0$ при всех $x$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго положительна на всей области определения, это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $f'(x) = x^2 - x + 1$ положительна при всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ является возрастающей на всей своей области определения. Что и требовалось доказать.