Номер 303, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Найдите точки максимума и минимума функции:

1) $f(x) = 2x^6;$

2) $f(x) = 10x - x^2;$

3) $f(x) = x^3 - 12x - 2;$

4) $f(x) = x^4 - 8x^3 + 10x^2 - 11.$

1) f(x) = 2x⁶

Для нахождения точек максимума и минимума функции, необходимо найти ее производную, найти критические точки (где производная равна нулю или не существует) и определить, как меняется знак производной при переходе через эти точки.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^6)' = 2 \cdot 6x^{5} = 12x^5$.

2. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
$12x^5 = 0 \implies x = 0$.

3. Анализируем знак производной слева и справа от критической точки $x=0$.
При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$, точек максимума нет.

2) f(x) = 10x - x²

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (10x - x^2)' = 10 - 2x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$10 - 2x = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5$.

3. Анализируем знак производной слева и справа от точки $x=5$.
При $x < 5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x > 5$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус, точка $x=5$ является точкой максимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 5$, точек минимума нет.

3) f(x) = x³ - 12x - 2

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 12x - 2)' = 3x^2 - 12$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4) = 0 \implies x^2 = 4$.
Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

3. Анализируем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$.
- На интервале $(-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 15 > 0$, функция возрастает. - На интервале $(-2, 2)$ (например, $x=0$): $f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0$, функция убывает. - На интервале $(2, \infty)$ (например, $x=3$): $f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 15 > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.
В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -2$, точка минимума $x_{min} = 2$.

4) f(x) = x⁴ - 8x³ + 10x² - 11

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 8x^3 + 10x^2 - 11)' = 4x^3 - 24x^2 + 20x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 24x^2 + 20x = 0$
$4x(x^2 - 6x + 5) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^2 - 6x + 5 = 0$.
Корни квадратного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Критические точки: $x=0$, $x=1$, $x=5$.

3. Анализируем знак производной $f'(x) = 4x(x-1)(x-5)$ на интервалах.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (1, 5)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (5, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума.
В точке $x = 5$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.

Ответ: точки минимума $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 5$; точка максимума $x_{max} = 1$.