Номер 309, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$, $[-1; 3]$;

2) $f(x) = 1 - 3x^2 - x^3$, $[-1; 2]$;

3) $f(x) = x^6 + 2x^2 - 3$, $[-2; -1]$;

4) $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 2}$, $[3; 6]$.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$ на промежутке $[-1; 3]$:
1. Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = x^2 - 2x$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Обе критические точки принадлежат указанному промежутку $[-1; 3]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$.
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0$.
$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8 - 12}{3} = -\frac{4}{3}$.
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 = 9 - 9 = 0$.
5. Сравнивая полученные значения $\{-\frac{4}{3}, 0, -\frac{4}{3}, 0\}$, находим, что наибольшее значение равно 0, а наименьшее равно $-\frac{4}{3}$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-\frac{4}{3}$.

2) Для функции $f(x) = 1 - 3x^2 - x^3$ на промежутке $[-1; 2]$:
1. Находим производную функции: $f'(x) = (1 - 3x^2 - x^3)' = -6x - 3x^2$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$-3x^2 - 6x = 0$
$-3x(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
3. Промежутку $[-1; 2]$ принадлежит только критическая точка $x = 0$. Точка $x=-2$ не принадлежит этому промежутку.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на концах промежутка $x=-1$ и $x=2$:
$f(-1) = 1 - 3(-1)^2 - (-1)^3 = 1 - 3(1) - (-1) = 1 - 3 + 1 = -1$.
$f(0) = 1 - 3(0)^2 - (0)^3 = 1$.
$f(2) = 1 - 3(2)^2 - (2)^3 = 1 - 3(4) - 8 = 1 - 12 - 8 = -19$.
5. Сравнивая полученные значения $\{-1, 1, -19\}$, находим, что наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно -19.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-19$.

3) Для функции $f(x) = x^6 + 2x^2 - 3$ на промежутке $[-2; -1]$:
1. Находим производную функции: $f'(x) = (x^6 + 2x^2 - 3)' = 6x^5 + 4x$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$6x^5 + 4x = 0$
$2x(3x^4 + 2) = 0$
Так как выражение $3x^4 + 2$ всегда положительно, единственной критической точкой является $x = 0$.
3. Критическая точка $x = 0$ не принадлежит указанному промежутку $[-2; -1]$.
4. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах промежутка. Вычисляем значения функции в точках $x=-2$ и $x=-1$:
$f(-2) = (-2)^6 + 2(-2)^2 - 3 = 64 + 2(4) - 3 = 64 + 8 - 3 = 69$.
$f(-1) = (-1)^6 + 2(-1)^2 - 3 = 1 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
5. Сравнивая полученные значения $\{69, 0\}$, находим, что наибольшее значение равно 69, а наименьшее равно 0.
Ответ: наибольшее значение $69$, наименьшее значение $0$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 2}$ на промежутке $[3; 6]$:
1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(x^2+5)'(x-2) - (x^2+5)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2+5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 5}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2}$.
2. Находим критические точки. Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$(x-5)(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Производная не определена в точке $x=2$, но эта точка не входит в промежуток $[3; 6]$.
3. Промежутку $[3; 6]$ принадлежит только критическая точка $x = 5$.
4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=5$ и на концах промежутка $x=3$ и $x=6$:
$f(3) = \frac{3^2 + 5}{3 - 2} = \frac{9+5}{1} = 14$.
$f(5) = \frac{5^2 + 5}{5 - 2} = \frac{25+5}{3} = \frac{30}{3} = 10$.
$f(6) = \frac{6^2 + 5}{6 - 2} = \frac{36+5}{4} = \frac{41}{4} = 10.25$.
5. Сравнивая полученные значения $\{14, 10, 10.25\}$, находим, что наибольшее значение равно 14, а наименьшее равно 10.
Ответ: наибольшее значение $14$, наименьшее значение $10$.