Номер 314, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

314. В полукруг радиуса $\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть полукруг радиуса $R = \sqrt{5}$ см расположен в верхней полуплоскости системы координат, с центром в начале координат (0, 0). Тогда уравнение полуокружности имеет вид $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{5 - x^2}$, где $y \ge 0$.

Прямоугольник, вписанный в этот полукруг, будет иметь одну сторону на оси Ox. Пусть вершины этого прямоугольника имеют координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$. Вершины $(x, y)$ и $(-x, y)$ лежат на полуокружности, поэтому их координаты удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{5 - x^2}$.

Стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$. Периметр прямоугольника $P$ равен:

$P = 2(2x + y)$

Подставим выражение для $y$ через $x$, чтобы получить функцию периметра от одной переменной $x$:

$P(x) = 2(2x + \sqrt{5 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{5 - x^2}$

Область определения для $x$ - это $(0, \sqrt{5})$, так как $x$ - это половина длины основания, и $x$ должен быть меньше радиуса.

Чтобы найти наибольшее значение периметра, найдем производную функции $P(x)$ и приравняем ее к нулю:

$P'(x) = (4x + 2\sqrt{5 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{5 - x^2}} \cdot (-2x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}}$

Найдем критические точки, решив уравнение $P'(x) = 0$:

$4 - \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}} = 0$

$4 = \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}}$

$2\sqrt{5 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $x>0$):

$4(5 - x^2) = x^2$

$20 - 4x^2 = x^2$

$5x^2 = 20$

$x^2 = 4$

$x = 2$ (так как $x > 0$)

Точка $x=2$ принадлежит области определения $(0, \sqrt{5})$. Проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого определим знаки производной на интервалах $(0, 2)$ и $(2, \sqrt{5})$.

Возьмем $x=1$ из интервала $(0, 2)$:

$P'(1) = 4 - \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{5 - 1^2}} = 4 - \frac{2}{\sqrt{4}} = 4 - 1 = 3 > 0$. На этом интервале функция $P(x)$ возрастает.

Возьмем $x=2,2$ из интервала $(2, \sqrt{5})$. $2,2^2 = 4,84$.

$P'(2,2) = 4 - \frac{2 \cdot 2,2}{\sqrt{5 - 4,84}} = 4 - \frac{4,4}{\sqrt{0,16}} = 4 - \frac{4,4}{0,4} = 4 - 11 = -7 < 0$. На этом интервале функция $P(x)$ убывает.

Так как при переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, то $x=2$ является точкой максимума функции $P(x)$.

Теперь найдем стороны прямоугольника, при которых периметр максимален.

Одна сторона равна $2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Другая сторона равна $y = \sqrt{5 - x^2} = \sqrt{5 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$ см.

Следовательно, стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны 4 см и 1 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 1 см.