Номер 1, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 11 изображён график функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 3]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[1,5; 3];$

2) $[-4,5; 2,5];$

3) $[-1; 2].$

Рис. 11

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке необходимо найти на графике точки с наибольшей и наименьшей ординатой (координатой $y$) для всех абсцисс (координат $x$) из этого промежутка.

Рассмотрим часть графика функции на промежутке $x \in [1.5, 3]$. На этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение достигается при $x = 1.5$. Из графика определяем, что $g(1.5) = 3.75$.
Формально: $max_{x \in [1.5, 3]} g(x) = g(1.5) = 3.75$.

Наименьшее значение достигается при $x = 3$. Из графика точно определяем, что $g(3) = -1.5$.
Формально: $min_{x \in [1.5, 3]} g(x) = g(3) = -1.5$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке [1,5; 3] равно 3,75; наименьшее значение равно -1,5.

Рассмотрим часть графика на промежутке $x \in [-4.5, 2.5]$.

Наибольшее значение на этом промежутке ищем среди значений в точках локальных максимумов и на концах отрезка. Внутри промежутка находится точка глобального максимума функции $x=1$, где $g(1) = 4$. Это и есть наибольшее значение на данном промежутке.
Формально: $max_{x \in [-4.5, 2.5]} g(x) = g(1) = 4$.

Наименьшее значение ищем среди значений в точках локальных минимумов и на концах отрезка. Сравним значения в ключевых точках: на левом конце $g(-4.5) = 2.5$; в точке локального минимума $g(-2) = 1.5$; на правом конце $g(2.5) = 1$. Наименьшее из этих значений — 1.
Формально: $min_{x \in [-4.5, 2.5]} g(x) = g(2.5) = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке [-4,5; 2,5] равно 4; наименьшее значение равно 1.

Рассмотрим часть графика на промежутке $x \in [-1, 2]$.

Наибольшее значение: на этом промежутке находится точка глобального максимума функции $x=1$, где $g(1) = 4$. Это и будет наибольшим значением.
Формально: $max_{x \in [-1, 2]} g(x) = g(1) = 4$.

Наименьшее значение: на данном промежутке нет точек локального минимума, поэтому наименьшее значение нужно искать на концах отрезка. Сравним значения на концах: $g(-1) = 2$ и $g(2) = 3$. Наименьшее из этих значений — 2.
Формально: $min_{x \in [-1, 2]} g(x) = g(-1) = 2$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке [-1; 2] равно 4; наименьшее значение равно 2.