Номер 7, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = 41$;

2) $f(x) = -11x^{10} + 54x^6 - 12$;

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 15}$;

4) $f(x) = \sqrt{35 - x} + \sqrt{35 + x}$;

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} - 2$;

6) $f(x) = \frac{|x + 17| - |x - 17|}{x}$.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения ($D(f)$) выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно нуля (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

1) $f(x) = 41$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$. Так как функция является постоянной (константой), её значение не зависит от аргумента: $f(-x) = 41$.

3. Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = 41$ и $f(x) = 41$. Таким образом, $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = -11x^{10} + 54x^6 - 12$

1. Область определения данной многочленной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = -11(-x)^{10} + 54(-x)^6 - 12$.
Поскольку показатели степеней 10 и 6 являются чётными числами, то $(-x)^{10} = x^{10}$ и $(-x)^6 = x^6$.
Следовательно, $f(-x) = -11x^{10} + 54x^6 - 12$.

3. Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, значит, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 15}$

1. Найдём область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 15 \ge 0 \implies x^2 \ge 15 \implies |x| \ge \sqrt{15}$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -\sqrt{15}] \cup [\sqrt{15}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 15} = \sqrt{x^2 - 15}$.

3. Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = \sqrt{x^2 - 15} = f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \sqrt{35 - x} + \sqrt{35 + x}$

1. Найдём область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 35 - x \ge 0 \\ 35 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 35 \\ x \ge -35 \end{cases} \implies -35 \le x \le 35$.
Таким образом, $D(f) = [-35; 35]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{35 - (-x)} + \sqrt{35 + (-x)} = \sqrt{35 + x} + \sqrt{35 - x}$.

3. Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$. Так как сложение коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), то $\sqrt{35 + x} + \sqrt{35 - x} = \sqrt{35 - x} + \sqrt{35 + x}$.
Следовательно, $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, значит, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} - 2$

1. Найдём область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2}{|-x|} - 2$.
Используя свойства чётной степени и модуля, имеем $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$.
Значит, $f(-x) = \frac{x^2}{|x|} - 2$.

3. Сравнивая выражения, получаем $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

6) $f(x) = \frac{|x+17|-|x-17|}{x}$

1. Найдём область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|-x+17|-|-x-17|}{-x} = \frac{|-(x-17)|-|-(x+17)|}{-x}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, преобразуем числитель:
$|-(x-17)| = |x-17|$ и $|-(x+17)| = |x+17|$.
Тогда $f(-x) = \frac{|x-17|-|x+17|}{-x}$.
Вынесем знак минус в числителе: $|x-17|-|x+17| = -(|x+17|-|x-17|)$.
Получаем $f(-x) = \frac{-(|x+17|-|x-17|)}{-x} = \frac{|x+17|-|x-17|}{x}$.

3. Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, значит, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.