Номер 9, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = 10x^{11};$

2) $f(x) = -2x^2 - 6x + 7;$

3) $f(x) = x^5 - 7x^3 - 4;$

4) $f(x) = \frac{5}{x^4 + 4x^2};$

5) $f(x) = \sqrt{x^2 - 16};$

6) $f(x) = (x+1)^6 + (x-1)^6;$

7) $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{4x - 12};$

8) $f(x) = (x-5)(x+4) + x;$

9) $f(x) = (x-9)|x+8| + (x+9)|x-8|;$

10) $f(x) = \frac{5x+4}{x^2 - 3x + 9} - \frac{5x-4}{x^2 + 3x + 9};$

1) Для функции $f(x) = 10x^{11}$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 10(-x)^{11} = 10(-x^{11}) = -10x^{11}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

2) Для функции $f(x) = -2x^2 - 6x + 7$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = -2(-x)^2 - 6(-x) + 7 = -2x^2 + 6x + 7$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) \neq f(x)$, так как $-2x^2 + 6x + 7 \neq -2x^2 - 6x + 7$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-2x^2 + 6x + 7 \neq -(-2x^2 - 6x + 7) = 2x^2 + 6x - 7$.
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

3) Для функции $f(x) = x^5 - 7x^3 - 4$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^5 - 7(-x)^3 - 4 = -x^5 - 7(-x^3) - 4 = -x^5 + 7x^3 - 4$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) \neq f(x)$, так как $-x^5 + 7x^3 - 4 \neq x^5 - 7x^3 - 4$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-x^5 + 7x^3 - 4 \neq -(x^5 - 7x^3 - 4) = -x^5 + 7x^3 + 4$.
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

4) Для функции $f(x) = \frac{5}{x^4 + 4x^2}$ найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^4 + 4x^2 = x^2(x^2 + 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{5}{(-x)^4 + 4(-x)^2} = \frac{5}{x^4 + 4x^2}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$ найдем область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 16 \ge 0$, что равносильно $x^2 \ge 16$, или $|x| \ge 4$. Область определения $D(f) = (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 16} = \sqrt{x^2 - 16}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

6) Для функции $f(x) = (x + 1)^6 + (x - 1)^6$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x + 1)^6 + (-x - 1)^6 = (1 - x)^6 + (-(x + 1))^6$.
Поскольку степень четная, $(1 - x)^6 = (-(x-1))^6 = (x-1)^6$ и $(-(x + 1))^6 = (x + 1)^6$.
Тогда $f(-x) = (x - 1)^6 + (x + 1)^6 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

7) Для функции $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{4x - 12}$ найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $4x - 12 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Эта область не является симметричной относительно нуля (например, $-3 \in D(f)$, а $3 \notin D(f)$).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

8) Для функции $f(x) = (x - 5)(x + 4) + x$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Упростим выражение:
$f(x) = (x^2 + 4x - 5x - 20) + x = x^2 - x - 20 + x = x^2 - 20$.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^2 - 20 = x^2 - 20$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

9) Для функции $f(x) = (x - 9)|x + 8| + (x + 9)|x - 8|$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x - 9)|-x + 8| + (-x + 9)|-x - 8|$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|-x + 8| = |x - 8|$ и $|-x - 8| = |x + 8|$.
$f(-x) = (-x - 9)|x - 8| + (9 - x)|x + 8| = -(x + 9)|x - 8| - (x - 9)|x + 8|$.
$f(-x) = -((x - 9)|x + 8| + (x + 9)|x - 8|) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

10) Для функции $f(x) = \frac{5x + 4}{x^2 - 3x + 9} - \frac{5x - 4}{x^2 + 3x + 9}$ найдем область определения. Дискриминант обоих знаменателей $x^2 - 3x + 9$ и $x^2 + 3x + 9$ отрицателен ($D = 9 - 36 = -27$), поэтому они никогда не равны нулю. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{5(-x) + 4}{(-x)^2 - 3(-x) + 9} - \frac{5(-x) - 4}{(-x)^2 + 3(-x) + 9} = \frac{-5x + 4}{x^2 + 3x + 9} - \frac{-5x - 4}{x^2 - 3x + 9}$.
$f(-x) = \frac{-(5x - 4)}{x^2 + 3x + 9} - \frac{-(5x + 4)}{x^2 - 3x + 9} = \frac{5x + 4}{x^2 - 3x + 9} - \frac{5x - 4}{x^2 + 3x + 9}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.