Номер 4, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Является ли чётной функция, заданная формулой $y = x^6$, если её область определения — множество:

1) $[ -9; 9 ];$ 2) $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty);$ 3) $[ -6; 6 ]?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для неё одновременно выполняются два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Сначала проверим второе условие для функции $y = x^6$. Пусть $f(x) = x^6$.

$f(-x) = (-x)^6 = (-1)^6 \cdot x^6 = 1 \cdot x^6 = x^6$.

Так как $f(-x) = f(x)$, второе условие выполняется. Теперь, чтобы определить, является ли функция чётной, нужно проверить симметричность её области определения для каждого случая.

1) $[-9; 9]$

Область определения — отрезок $[-9; 9]$. Это множество симметрично относительно нуля, так как для любого числа $x$ из этого отрезка (то есть, при $-9 \le x \le 9$) противоположное ему число $-x$ также находится в пределах от $-9$ до $9$. Оба условия чётности выполнены.

Ответ: да, является.

2) $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$

Область определения — объединение интервалов $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$. Это множество также симметрично относительно нуля. Если взять любое число $x$ из этого множества, то либо $x < -10$, либо $x > 10$. Если $x < -10$, то $-x > 10$, и $-x$ попадает во второй интервал. Если $x > 10$, то $-x < -10$, и $-x$ попадает в первый интервал. В любом случае, для любого $x$ из области определения, $-x$ также принадлежит ей. Оба условия чётности выполнены.

Ответ: да, является.

3) $[-6; 6)$

Область определения — полуинтервал $[-6; 6)$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, число $x = -6$ принадлежит этому множеству, так как выполняется неравенство $-6 \le -6 < 6$. Однако, противоположное ему число $-x = 6$ не принадлежит этому множеству, поскольку правая граница интервала не включается ($6$ не меньше $6$). Так как область определения несимметрична, первое условие чётности не выполняется.

Ответ: нет, не является.