Страница 56 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 11 изображён график функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 3]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[1,5; 3];$

2) $[-4,5; 2,5];$

3) $[-1; 2].$

Рис. 11

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке необходимо найти на графике точки с наибольшей и наименьшей ординатой (координатой $y$) для всех абсцисс (координат $x$) из этого промежутка.

Рассмотрим часть графика функции на промежутке $x \in [1.5, 3]$. На этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение достигается при $x = 1.5$. Из графика определяем, что $g(1.5) = 3.75$.
Формально: $max_{x \in [1.5, 3]} g(x) = g(1.5) = 3.75$.

Наименьшее значение достигается при $x = 3$. Из графика точно определяем, что $g(3) = -1.5$.
Формально: $min_{x \in [1.5, 3]} g(x) = g(3) = -1.5$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке [1,5; 3] равно 3,75; наименьшее значение равно -1,5.

Рассмотрим часть графика на промежутке $x \in [-4.5, 2.5]$.

Наибольшее значение на этом промежутке ищем среди значений в точках локальных максимумов и на концах отрезка. Внутри промежутка находится точка глобального максимума функции $x=1$, где $g(1) = 4$. Это и есть наибольшее значение на данном промежутке.
Формально: $max_{x \in [-4.5, 2.5]} g(x) = g(1) = 4$.

Наименьшее значение ищем среди значений в точках локальных минимумов и на концах отрезка. Сравним значения в ключевых точках: на левом конце $g(-4.5) = 2.5$; в точке локального минимума $g(-2) = 1.5$; на правом конце $g(2.5) = 1$. Наименьшее из этих значений — 1.
Формально: $min_{x \in [-4.5, 2.5]} g(x) = g(2.5) = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке [-4,5; 2,5] равно 4; наименьшее значение равно 1.

Рассмотрим часть графика на промежутке $x \in [-1, 2]$.

Наибольшее значение: на этом промежутке находится точка глобального максимума функции $x=1$, где $g(1) = 4$. Это и будет наибольшим значением.
Формально: $max_{x \in [-1, 2]} g(x) = g(1) = 4$.

Наименьшее значение: на данном промежутке нет точек локального минимума, поэтому наименьшее значение нужно искать на концах отрезка. Сравним значения на концах: $g(-1) = 2$ и $g(2) = 3$. Наименьшее из этих значений — 2.
Формально: $min_{x \in [-1, 2]} g(x) = g(-1) = 2$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке [-1; 2] равно 4; наименьшее значение равно 2.

2. Функция g такова, что $g(8) = 12$. Найдите $g(-8)$, если функция g является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) чётной

Функция называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = g(x)$. Это означает, что значения функции для противоположных значений аргумента равны.

По условию, нам дано значение $g(8) = 12$. Так как функция $g$ является чётной, мы можем применить определение:

$g(-8) = g(8)$

Подставляя известное значение, получаем:

$g(-8) = 12$

Ответ: 12.

2) нечётной

Функция называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$. Это означает, что значения функции для противоположных значений аргумента противоположны по знаку.

По условию, нам дано значение $g(8) = 12$. Так как функция $g$ является нечётной, мы можем применить определение:

$g(-8) = -g(8)$

Подставляя известное значение, получаем:

$g(-8) = -12$

Ответ: -12.

3. Функция $f$ такова, что $f(-7) = -8$. Найдите $\frac{f(-7)}{f(7)}$, если функция $f$ является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) чётной

Если функция $f$ является чётной, то по определению для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Применим это свойство для $x=7$: $f(-7) = f(7)$. По условию задачи нам дано, что $f(-7) = -8$. Следовательно, $f(7)$ также равно $-8$. Теперь мы можем найти значение дроби: $\frac{f(-7)}{f(7)} = \frac{-8}{-8} = 1$.

Ответ: 1

2) нечётной

Если функция $f$ является нечётной, то по определению для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Применим это свойство для $x=7$: $f(-7) = -f(7)$. По условию задачи нам дано, что $f(-7) = -8$. Подставим это значение в равенство: $-8 = -f(7)$. Умножив обе части на $-1$, получим $f(7) = 8$. Теперь мы можем найти значение дроби: $\frac{f(-7)}{f(7)} = \frac{-8}{8} = -1$.

Ответ: -1

4. Является ли чётной функция, заданная формулой $y = x^6$, если её область определения — множество:

1) $[ -9; 9 ];$ 2) $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty);$ 3) $[ -6; 6 ]?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для неё одновременно выполняются два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Сначала проверим второе условие для функции $y = x^6$. Пусть $f(x) = x^6$.

$f(-x) = (-x)^6 = (-1)^6 \cdot x^6 = 1 \cdot x^6 = x^6$.

Так как $f(-x) = f(x)$, второе условие выполняется. Теперь, чтобы определить, является ли функция чётной, нужно проверить симметричность её области определения для каждого случая.

1) $[-9; 9]$

Область определения — отрезок $[-9; 9]$. Это множество симметрично относительно нуля, так как для любого числа $x$ из этого отрезка (то есть, при $-9 \le x \le 9$) противоположное ему число $-x$ также находится в пределах от $-9$ до $9$. Оба условия чётности выполнены.

Ответ: да, является.

2) $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$

Область определения — объединение интервалов $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$. Это множество также симметрично относительно нуля. Если взять любое число $x$ из этого множества, то либо $x < -10$, либо $x > 10$. Если $x < -10$, то $-x > 10$, и $-x$ попадает во второй интервал. Если $x > 10$, то $-x < -10$, и $-x$ попадает в первый интервал. В любом случае, для любого $x$ из области определения, $-x$ также принадлежит ей. Оба условия чётности выполнены.

Ответ: да, является.

3) $[-6; 6)$

Область определения — полуинтервал $[-6; 6)$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, число $x = -6$ принадлежит этому множеству, так как выполняется неравенство $-6 \le -6 < 6$. Однако, противоположное ему число $-x = 6$ не принадлежит этому множеству, поскольку правая граница интервала не включается ($6$ не меньше $6$). Так как область определения несимметрична, первое условие чётности не выполняется.

Ответ: нет, не является.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -3x + 4$ на промежутке $[-2; 4]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -3x + 4$ на отрезке $[-2; 4]$, необходимо проанализировать ее поведение.

Данная функция является линейной, ее общий вид $y = kx + b$. Угловой коэффициент для этой функции $k = -3$.

Поскольку угловой коэффициент $k < 0$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что на заданном отрезке $[-2; 4]$ ее наибольшее значение будет достигаться в самой левой точке отрезка, а наименьшее — в самой правой.

Наибольшее значение
Наибольшее значение функция принимает в точке $x = -2$. Вычислим это значение, подставив $x = -2$ в уравнение функции:
$y_{наиб} = y(-2) = -3 \cdot (-2) + 4 = 6 + 4 = 10$.
Ответ: 10.

Наименьшее значение
Наименьшее значение функция принимает в точке $x = 4$. Вычислим это значение, подставив $x = 4$ в уравнение функции:
$y_{наим} = y(4) = -3 \cdot 4 + 4 = -12 + 4 = -8$.
Ответ: -8.