Страница 50 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

284. Найдите производную функции:

1) $y = (3 - x)^5$;

2) $y = (6x^5 - 2x)^8$;

3) $y = \frac{1}{(x^2 - 3x)^3}$;

4) $y = \sqrt{2x - 1}$;

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x}$;

6) $y = \cos 6x$;

7) $y = \sin^3 x$;

8) $y = \sqrt{\operatorname{tg} 2x}$;

9) $y = \frac{\sin 2x}{1 - x}$;

10) $y = x^2 \cos \frac{1}{x}$.

1) Дана функция $y = (3-x)^5$.

Это сложная функция вида $y=u^5$, где $u=3-x$. Для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции $(u^5)' = 5u^4$.

Производная внутренней функции $(3-x)' = -1$.

Перемножаем производные:

$y' = 5(3-x)^{5-1} \cdot (3-x)' = 5(3-x)^4 \cdot (-1) = -5(3-x)^4$.

Ответ: $y' = -5(3-x)^4$.

2) Дана функция $y = (6x^5 - 2x)^8$.

Это сложная функция вида $y=u^8$, где $u=6x^5 - 2x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^8)' = 8u^7$.

Производная внутренней функции $(6x^5 - 2x)' = 6 \cdot 5x^4 - 2 = 30x^4 - 2$.

Перемножаем производные:

$y' = 8(6x^5 - 2x)^{8-1} \cdot (6x^5 - 2x)' = 8(6x^5 - 2x)^7 \cdot (30x^4 - 2)$.

Можно вынести общий множитель 2 из второй скобки: $y' = 8(6x^5 - 2x)^7 \cdot 2(15x^4 - 1) = 16(15x^4 - 1)(6x^5 - 2x)^7$.

Ответ: $y' = 16(15x^4 - 1)(6x^5 - 2x)^7$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{(x^2 - 3x)^3}$.

Перепишем функцию в виде $y = (x^2 - 3x)^{-3}$. Это сложная функция вида $y=u^{-3}$, где $u=x^2 - 3x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^{-3})' = -3u^{-4}$.

Производная внутренней функции $(x^2 - 3x)' = 2x - 3$.

Перемножаем производные:

$y' = -3(x^2 - 3x)^{-3-1} \cdot (x^2 - 3x)' = -3(x^2 - 3x)^{-4} \cdot (2x - 3) = -\frac{3(2x - 3)}{(x^2 - 3x)^4}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(2x - 3)}{(x^2 - 3x)^4}$.

4) Дана функция $y = \sqrt{2x - 1}$.

Перепишем функцию в виде $y = (2x - 1)^{1/2}$. Это сложная функция вида $y=u^{1/2}$, где $u=2x - 1$. Применим цепное правило. Производная квадратного корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции $(2x - 1)' = 2$.

Тогда:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 1}} \cdot (2x - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$.

5) Дана функция $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x}$.

Перепишем функцию в виде $y = (x^3 - 2x)^{1/3}$. Это сложная функция вида $y=u^{1/3}$, где $u=x^3 - 2x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$.

Производная внутренней функции $(x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2$.

Перемножаем производные:

$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 2x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 2) = \frac{3x^2 - 2}{3(x^3 - 2x)^{2/3}} = \frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$.

6) Дана функция $y = \cos(6x)$.

Это сложная функция вида $y = \cos(u)$, где $u = 6x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции $(6x)' = 6$.

Перемножаем производные:

$y' = -\sin(6x) \cdot (6x)' = -\sin(6x) \cdot 6 = -6\sin(6x)$.

Ответ: $y' = -6\sin(6x)$.

7) Дана функция $y = \sin^3 x$.

Перепишем функцию в виде $y = (\sin x)^3$. Это сложная функция вида $y=u^3$, где $u=\sin x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^3)' = 3u^2$.

Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.

Перемножаем производные:

$y' = 3(\sin x)^2 \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$.

Ответ: $y' = 3\sin^2 x \cos x$.

8) Дана функция $y = \sqrt{\tan 2x}$.

Это сложная функция, состоящая из трех вложенных функций: $y=\sqrt{u}$, $u=\tan v$, $v=2x$. Применим цепное правило дважды.

$y' = (\sqrt{\tan 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{\tan 2x}} \cdot (\tan 2x)'$.

Теперь найдем производную от $\tan 2x$: $(\tan 2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2$.

Подставляем обратно:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\tan 2x}} \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{1}{\cos^2(2x)\sqrt{\tan 2x}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2(2x)\sqrt{\tan 2x}}$.

9) Дана функция $y = \frac{\sin 2x}{1 - x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = \sin 2x$ и $v = 1 - x$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u' = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

$v' = (1 - x)' = -1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2\cos(2x))(1-x) - (\sin 2x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{2(1-x)\cos(2x) + \sin 2x}{(1-x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2(1-x)\cos(2x) + \sin 2x}{(1-x)^2}$.

10) Дана функция $y = x^2 \cos\frac{1}{x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x^2$ и $v = \cos\frac{1}{x}$.

Находим производные сомножителей:

$u' = (x^2)' = 2x$.

$v' = (\cos\frac{1}{x})' = -\sin(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{1}{x})' = -\sin(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}\sin(\frac{1}{x})$.

Подставляем в формулу:

$y' = (2x)\left(\cos\frac{1}{x}\right) + (x^2)\left(\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}\right) = 2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = 2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$.

285. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \cos^4 3x$, $x_0 = \frac{\pi}{9}$;

2) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x}$, $x_0 = -1$.

1) $f(x) = \cos^4 3x, x_0 = \frac{\pi}{9}$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Сначала найдём производную функции $f(x) = \cos^4 3x$. Это сложная функция, поэтому для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Пусть $u = \cos 3x$, тогда $f(u) = u^4$. Производная $f'(u) = 4u^3$.

Производная от $u(x) = \cos 3x$ также находится по цепному правилу:$u'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$.

Теперь соберём всё вместе:

$f'(x) = 4(\cos 3x)^3 \cdot (-3\sin 3x) = -12\cos^3 3x \sin 3x$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{9}$:

$k = f'(\frac{\pi}{9}) = -12\cos^3(3 \cdot \frac{\pi}{9})\sin(3 \cdot \frac{\pi}{9}) = -12\cos^3(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{3})$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$k = -12 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -12 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{12\sqrt{3}}{16} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

2) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x}, x_0 = -1$

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Найдём производную функции $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции, где $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 - 5x}} \cdot (4x^2 - 5x)'$.

Найдём производную подкоренного выражения:

$(4x^2 - 5x)' = 4 \cdot 2x - 5 = 8x - 5$.

Тогда производная всей функции равна:

$f'(x) = \frac{8x - 5}{2\sqrt{4x^2 - 5x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = \frac{8(-1) - 5}{2\sqrt{4(-1)^2 - 5(-1)}} = \frac{-8 - 5}{2\sqrt{4(1) + 5}} = \frac{-13}{2\sqrt{9}}$.

$k = \frac{-13}{2 \cdot 3} = -\frac{13}{6}$.

Ответ: $-\frac{13}{6}$.

286. Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^2 - 5t + 8$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $x$ — в метрах). Найдите скорость движения точки в момент времени $t_0 = 4$ с.

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = 3t^2 - 5t + 8$, где $t$ - время в секундах, а $x$ - перемещение в метрах.

С физической точки зрения, мгновенная скорость является первой производной от перемещения по времени. Математически это записывается как $v(t) = x'(t)$.

Найдем производную от функции перемещения $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (3t^2 - 5t + 8)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = (3t^2)' - (5t)' + (8)' = 2 \cdot 3t^{2-1} - 5 \cdot 1t^{1-1} + 0 = 6t - 5$

Таким образом, зависимость скорости от времени описывается функцией $v(t) = 6t - 5$.

Теперь вычислим скорость в момент времени $t_0 = 4$ с, подставив это значение в полученную функцию скорости:

$v(4) = 6 \cdot 4 - 5 = 24 - 5 = 19$

Так как перемещение измеряется в метрах, а время в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 19 м/с.

287. Материальная точка массой 4 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 + 2$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите импульс $P(t) = mv(t)$ материальной точки в момент времени $t_0 = 5$ с.

Импульс материальной точки $P(t)$ определяется как произведение ее массы $m$ на мгновенную скорость $v(t)$. Формула для импульса: $P(t) = m \cdot v(t)$.

Из условия задачи нам известны:

• масса точки $m = 4$ кг;
• закон движения (перемещение) $s(t) = 3t^2 + 2$;
• момент времени $t_0 = 5$ с.

Чтобы найти импульс, сначала необходимо определить скорость точки в заданный момент времени. Скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (3t^2 + 2)'$

Найдем производную:

$v(t) = (3t^2)' + (2)' = 3 \cdot 2t + 0 = 6t$.

Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид $v(t) = 6t$ (м/с).

Теперь вычислим скорость точки в момент времени $t_0 = 5$ с:

$v(5) = 6 \cdot 5 = 30$ м/с.

Наконец, рассчитаем импульс материальной точки в этот момент времени, используя массу $m = 4$ кг и найденную скорость $v(5) = 30$ м/с:

$P(5) = m \cdot v(5) = 4 \text{ кг} \cdot 30 \text{ м/с} = 120$ кг·м/с.

Ответ: $120$ кг·м/с.

288. Составьте уравнение касательной к графику функции

$f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 5x, x_0 = 2;$

2) $f(x) = \frac{1}{x+1}, x_0 = -2;$

3) $f(x) = \sqrt{x-3}, x_0 = 4;$

4) $f(x) = \cos 2x, x_0 = \frac{\pi}{8}.$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1) $f(x) = x^3 - 5x$, $x_0 = 2$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0=2$:
$f(2) = 2^3 - 5 \cdot 2 = 8 - 10 = -2$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 5x)' = 3x^2 - 5$.
3. Находим значение производной в точке $x_0=2$ (это угловой коэффициент касательной):
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 5 = 12 - 5 = 7$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=-2$ и $f'(x_0)=7$ в общее уравнение касательной:
$y = -2 + 7(x - 2)$
$y = -2 + 7x - 14$
$y = 7x - 16$.

Ответ: $y = 7x - 16$.

2) $f(x) = \frac{1}{x+1}$, $x_0 = -2$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0=-2$:
$f(-2) = \frac{1}{-2 + 1} = \frac{1}{-1} = -1$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{1}{x+1}\right)' = -\frac{1}{(x+1)^2}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0=-2$:
$f'(-2) = -\frac{1}{(-2+1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=-2$, $f(x_0)=-1$ и $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = -1 + (-1)(x - (-2))$
$y = -1 - (x + 2)$
$y = -1 - x - 2$
$y = -x - 3$.

Ответ: $y = -x - 3$.

3) $f(x) = \sqrt{x-3}$, $x_0 = 4$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0=4$:
$f(4) = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{x-3})' = \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0=4$:
$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4-3}} = \frac{1}{2}$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=4$, $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{1}{2}(x - 4)$
$y = 1 + \frac{1}{2}x - 2$
$y = \frac{1}{2}x - 1$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 1$.

4) $f(x) = \cos(2x)$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{8}$:
$f(\frac{\pi}{8}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.
3. Находим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$:
$f'(\frac{\pi}{8}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -2\sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=\frac{\pi}{8}$, $f(x_0)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(x_0)=-\sqrt{2}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}(x - \frac{\pi}{8})$
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$
$y = -\sqrt{2}x + \frac{4\sqrt{2} + \pi\sqrt{2}}{8}$
$y = -\sqrt{2}x + \frac{(4+\pi)\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $y = -\sqrt{2}x + \frac{(4+\pi)\sqrt{2}}{8}$.

289. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ в точке его пересечения с осью ординат.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Находим точку касания.

Касательная проводится в точке пересечения графика с осью ординат. Это означает, что абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

Найдем ординату этой точки, вычислив значение функции при $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = \sin\left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка касания — $\left(0; \frac{1}{2}\right)$.

2. Находим производную функции.

Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную функции $f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)'$

$f'(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot 2 = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$

3. Находим угловой коэффициент касательной.

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$:

$f'(0) = 2\cos\left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Угловой коэффициент касательной $k = f'(0) = \sqrt{3}$.

4. Составляем уравнение касательной.

Подставляем найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = \sqrt{3}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = \frac{1}{2} + \sqrt{3}(x - 0)$

$y = \sqrt{3}x + \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \sqrt{3}x + \frac{1}{2}$