Номер 288, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. Составьте уравнение касательной к графику функции

$f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 5x, x_0 = 2;$

2) $f(x) = \frac{1}{x+1}, x_0 = -2;$

3) $f(x) = \sqrt{x-3}, x_0 = 4;$

4) $f(x) = \cos 2x, x_0 = \frac{\pi}{8}.$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1) $f(x) = x^3 - 5x$, $x_0 = 2$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0=2$:
$f(2) = 2^3 - 5 \cdot 2 = 8 - 10 = -2$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 5x)' = 3x^2 - 5$.
3. Находим значение производной в точке $x_0=2$ (это угловой коэффициент касательной):
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 5 = 12 - 5 = 7$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=-2$ и $f'(x_0)=7$ в общее уравнение касательной:
$y = -2 + 7(x - 2)$
$y = -2 + 7x - 14$
$y = 7x - 16$.

Ответ: $y = 7x - 16$.

2) $f(x) = \frac{1}{x+1}$, $x_0 = -2$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0=-2$:
$f(-2) = \frac{1}{-2 + 1} = \frac{1}{-1} = -1$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{1}{x+1}\right)' = -\frac{1}{(x+1)^2}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0=-2$:
$f'(-2) = -\frac{1}{(-2+1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=-2$, $f(x_0)=-1$ и $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = -1 + (-1)(x - (-2))$
$y = -1 - (x + 2)$
$y = -1 - x - 2$
$y = -x - 3$.

Ответ: $y = -x - 3$.

3) $f(x) = \sqrt{x-3}$, $x_0 = 4$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0=4$:
$f(4) = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{x-3})' = \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0=4$:
$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4-3}} = \frac{1}{2}$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=4$, $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{1}{2}(x - 4)$
$y = 1 + \frac{1}{2}x - 2$
$y = \frac{1}{2}x - 1$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 1$.

4) $f(x) = \cos(2x)$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$

1. Находим значение функции в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{8}$:
$f(\frac{\pi}{8}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.
3. Находим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$:
$f'(\frac{\pi}{8}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -2\sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
4. Подставляем найденные значения $x_0=\frac{\pi}{8}$, $f(x_0)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(x_0)=-\sqrt{2}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}(x - \frac{\pi}{8})$
$y = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$
$y = -\sqrt{2}x + \frac{4\sqrt{2} + \pi\sqrt{2}}{8}$
$y = -\sqrt{2}x + \frac{(4+\pi)\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $y = -\sqrt{2}x + \frac{(4+\pi)\sqrt{2}}{8}$.