Номер 284, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

284. Найдите производную функции:

1) $y = (3 - x)^5$;

2) $y = (6x^5 - 2x)^8$;

3) $y = \frac{1}{(x^2 - 3x)^3}$;

4) $y = \sqrt{2x - 1}$;

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x}$;

6) $y = \cos 6x$;

7) $y = \sin^3 x$;

8) $y = \sqrt{\operatorname{tg} 2x}$;

9) $y = \frac{\sin 2x}{1 - x}$;

10) $y = x^2 \cos \frac{1}{x}$.

1) Дана функция $y = (3-x)^5$.

Это сложная функция вида $y=u^5$, где $u=3-x$. Для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции $(u^5)' = 5u^4$.

Производная внутренней функции $(3-x)' = -1$.

Перемножаем производные:

$y' = 5(3-x)^{5-1} \cdot (3-x)' = 5(3-x)^4 \cdot (-1) = -5(3-x)^4$.

Ответ: $y' = -5(3-x)^4$.

2) Дана функция $y = (6x^5 - 2x)^8$.

Это сложная функция вида $y=u^8$, где $u=6x^5 - 2x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^8)' = 8u^7$.

Производная внутренней функции $(6x^5 - 2x)' = 6 \cdot 5x^4 - 2 = 30x^4 - 2$.

Перемножаем производные:

$y' = 8(6x^5 - 2x)^{8-1} \cdot (6x^5 - 2x)' = 8(6x^5 - 2x)^7 \cdot (30x^4 - 2)$.

Можно вынести общий множитель 2 из второй скобки: $y' = 8(6x^5 - 2x)^7 \cdot 2(15x^4 - 1) = 16(15x^4 - 1)(6x^5 - 2x)^7$.

Ответ: $y' = 16(15x^4 - 1)(6x^5 - 2x)^7$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{(x^2 - 3x)^3}$.

Перепишем функцию в виде $y = (x^2 - 3x)^{-3}$. Это сложная функция вида $y=u^{-3}$, где $u=x^2 - 3x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^{-3})' = -3u^{-4}$.

Производная внутренней функции $(x^2 - 3x)' = 2x - 3$.

Перемножаем производные:

$y' = -3(x^2 - 3x)^{-3-1} \cdot (x^2 - 3x)' = -3(x^2 - 3x)^{-4} \cdot (2x - 3) = -\frac{3(2x - 3)}{(x^2 - 3x)^4}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(2x - 3)}{(x^2 - 3x)^4}$.

4) Дана функция $y = \sqrt{2x - 1}$.

Перепишем функцию в виде $y = (2x - 1)^{1/2}$. Это сложная функция вида $y=u^{1/2}$, где $u=2x - 1$. Применим цепное правило. Производная квадратного корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции $(2x - 1)' = 2$.

Тогда:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 1}} \cdot (2x - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$.

5) Дана функция $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x}$.

Перепишем функцию в виде $y = (x^3 - 2x)^{1/3}$. Это сложная функция вида $y=u^{1/3}$, где $u=x^3 - 2x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$.

Производная внутренней функции $(x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2$.

Перемножаем производные:

$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 2x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 2) = \frac{3x^2 - 2}{3(x^3 - 2x)^{2/3}} = \frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$.

6) Дана функция $y = \cos(6x)$.

Это сложная функция вида $y = \cos(u)$, где $u = 6x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции $(6x)' = 6$.

Перемножаем производные:

$y' = -\sin(6x) \cdot (6x)' = -\sin(6x) \cdot 6 = -6\sin(6x)$.

Ответ: $y' = -6\sin(6x)$.

7) Дана функция $y = \sin^3 x$.

Перепишем функцию в виде $y = (\sin x)^3$. Это сложная функция вида $y=u^3$, где $u=\sin x$. Применим цепное правило.

Производная внешней функции $(u^3)' = 3u^2$.

Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.

Перемножаем производные:

$y' = 3(\sin x)^2 \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$.

Ответ: $y' = 3\sin^2 x \cos x$.

8) Дана функция $y = \sqrt{\tan 2x}$.

Это сложная функция, состоящая из трех вложенных функций: $y=\sqrt{u}$, $u=\tan v$, $v=2x$. Применим цепное правило дважды.

$y' = (\sqrt{\tan 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{\tan 2x}} \cdot (\tan 2x)'$.

Теперь найдем производную от $\tan 2x$: $(\tan 2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2$.

Подставляем обратно:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\tan 2x}} \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{1}{\cos^2(2x)\sqrt{\tan 2x}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2(2x)\sqrt{\tan 2x}}$.

9) Дана функция $y = \frac{\sin 2x}{1 - x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = \sin 2x$ и $v = 1 - x$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u' = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

$v' = (1 - x)' = -1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2\cos(2x))(1-x) - (\sin 2x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{2(1-x)\cos(2x) + \sin 2x}{(1-x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2(1-x)\cos(2x) + \sin 2x}{(1-x)^2}$.

10) Дана функция $y = x^2 \cos\frac{1}{x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x^2$ и $v = \cos\frac{1}{x}$.

Находим производные сомножителей:

$u' = (x^2)' = 2x$.

$v' = (\cos\frac{1}{x})' = -\sin(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{1}{x})' = -\sin(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}\sin(\frac{1}{x})$.

Подставляем в формулу:

$y' = (2x)\left(\cos\frac{1}{x}\right) + (x^2)\left(\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}\right) = 2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = 2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$.