Номер 277, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^5$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \sqrt[4]{x}$, $x_0 = 625$;

3) $f(x) = \frac{1}{x^6}$, $x_0 = -2$;

4) $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^5$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдём производную функции по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 5 \cdot 1^4 = 5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и точка $x_0 = 625$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$.

Найдём производную функции, используя то же правило:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 625$:

$k = f'(625) = \frac{1}{4} \cdot 625^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot (5^4)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot 5^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = \frac{1}{4} \cdot 5^{-3} = \frac{1}{4 \cdot 5^3} = \frac{1}{4 \cdot 125} = \frac{1}{500}$.

Ответ: $\frac{1}{500}$

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^6}$ и точка $x_0 = -2$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-6}$.

Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^{-6})' = -6x^{-6-1} = -6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$k = f'(-2) = -\frac{6}{(-2)^7} = -\frac{6}{-128} = \frac{6}{128} = \frac{3}{64}$.

Ответ: $\frac{3}{64}$

4) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдём производную функции (производная синуса - косинус):

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$k = f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$