Страница 48 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите производную функции:

1) $y = 2x - 1;$

2) $y = \frac{4 - x}{6};$

3) $y = -8;$

4) $y = x^8;$

5) $y = \frac{1}{x^7};$

6) $y = x^{1,4};$

7) $y = x^{-2,3};$

8) $y = \sqrt[5]{x};$

9) $y = \sqrt[7]{x^5};$

10) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$

Для нахождения производных будем использовать основные правила дифференцирования, в частности, формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а также правила дифференцирования суммы, разности и произведения функции на константу.

1) Дана функция $y = 2x - 1$.
Производная суммы/разности равна сумме/разности производных: $y' = (2x - 1)' = (2x)' - (1)'$.
Производная от $kx$ равна $k$, а производная константы равна 0.
Следовательно, $y' = 2 - 0 = 2$.
Ответ: $y' = 2$.

2) Дана функция $y = \frac{4 - x}{6}$.
Представим функцию в виде разности двух дробей: $y = \frac{4}{6} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6}x$.
Находим производную: $y' = (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}x)' = (\frac{2}{3})' - (\frac{1}{6}x)' = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{6}$.

3) Дана функция $y = -8$.
Это константа, производная любой константы равна нулю.
$y' = (-8)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

4) Дана функция $y = x^8$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=8$.
$y' = (x^8)' = 8x^{8-1} = 8x^7$.
Ответ: $y' = 8x^7$.

5) Дана функция $y = \frac{1}{x^7}$.
Представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = x^{-7}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-7$.
$y' = (x^{-7})' = -7x^{-7-1} = -7x^{-8} = -\frac{7}{x^8}$.
Ответ: $y' = -7x^{-8}$.

6) Дана функция $y = x^{1,4}$.
Используем формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=1,4$.
$y' = (x^{1,4})' = 1,4x^{1,4-1} = 1,4x^{0,4}$.
Ответ: $y' = 1,4x^{0,4}$.

7) Дана функция $y = x^{-2,3}$.
Используем формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-2,3$.
$y' = (x^{-2,3})' = -2,3x^{-2,3-1} = -2,3x^{-3,3}$.
Ответ: $y' = -2,3x^{-3,3}$.

8) Дана функция $y = \sqrt[5]{x}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{1}{5}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=\frac{1}{5}$.
$y' = (x^{\frac{1}{5}})' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.

9) Дана функция $y = \sqrt[7]{x^5}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{5}{7}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=\frac{5}{7}$.
$y' = (x^{\frac{5}{7}})' = \frac{5}{7}x^{\frac{5}{7}-1} = \frac{5}{7}x^{-\frac{2}{7}} = \frac{5}{7\sqrt[7]{x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{5}{7}x^{-\frac{2}{7}}$.

10) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.
Представим функцию в виде степени с отрицательным дробным показателем: $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{-\frac{2}{3}}$.
Применим формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n=-\frac{2}{3}$.
$y' = (x^{-\frac{2}{3}})' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.
Ответ: $y' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}$.

274. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

2) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

1)

Для функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$ необходимо найти значение производной $f'(x_0)$.

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$.

Производная от косинуса равна минус синусу:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Шаг 2: Подставляем значение $x_0$ в выражение для производной.

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$.

Шаг 3: Вычисляем значение.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2)

Для функции $f(x) = \sin x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ необходимо найти значение производной $f'(x_0)$.

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$.

Производная от синуса равна косинусу:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Шаг 2: Подставляем значение $x_0$ в выражение для производной.

$f'(-\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4})$.

Шаг 3: Вычисляем значение.

Функция косинуса является четной, поэтому $\cos(-a) = \cos(a)$. Следовательно, $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

275. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = 3x^3 \sqrt{x}$, $x_0 = 4$;

2) $\varphi(x) = \frac{2x^3}{\sqrt[3]{x}}$, $x_0 = 8$.

1) Дана функция $f(x) = 3x^3 \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 4$.

Сначала упростим функцию, представив ее в виде одной степенной функции. Для этого запишем $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и воспользуемся свойством степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$:

$f(x) = 3x^3 \cdot x^{1/2} = 3x^{3 + 1/2} = 3x^{7/2}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(c \cdot x^n)' = c \cdot n \cdot x^{n-1}$:

$f'(x) = (3x^{7/2})' = 3 \cdot \frac{7}{2}x^{\frac{7}{2}-1} = \frac{21}{2}x^{\frac{5}{2}}$.

Наконец, вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$f'(4) = \frac{21}{2} \cdot 4^{5/2} = \frac{21}{2} \cdot (4^{1/2})^5 = \frac{21}{2} \cdot (\sqrt{4})^5 = \frac{21}{2} \cdot 2^5 = \frac{21}{2} \cdot 32 = 21 \cdot 16 = 336$.

Ответ: $336$.

2) Дана функция $\varphi(x) = \frac{2x^3}{\sqrt[3]{x}}$ и точка $x_0 = 8$.

Сначала упростим выражение для функции. Запишем $\sqrt[3]{x}$ как $x^{1/3}$ и воспользуемся свойством степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$:

$\varphi(x) = \frac{2x^3}{x^{1/3}} = 2x^{3 - 1/3} = 2x^{8/3}$.

Найдем производную функции $\varphi(x)$ по тому же правилу:

$\varphi'(x) = (2x^{8/3})' = 2 \cdot \frac{8}{3}x^{\frac{8}{3}-1} = \frac{16}{3}x^{\frac{5}{3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$:

$\varphi'(8) = \frac{16}{3} \cdot 8^{5/3} = \frac{16}{3} \cdot (8^{1/3})^5 = \frac{16}{3} \cdot (\sqrt[3]{8})^5 = \frac{16}{3} \cdot 2^5 = \frac{16}{3} \cdot 32 = \frac{512}{3}$.

Ответ: $\frac{512}{3}$.

276. Пользуясь определением, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x)=1-2x$;

2) $f(x)=x^2+3x-2$.

1)

Чтобы найти производную функции $f(x) = 1 - 2x$ по определению, воспользуемся формулой: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

1. Найдем $f(x+\Delta x)$:
$f(x+\Delta x) = 1 - 2(x+\Delta x) = 1 - 2x - 2\Delta x$

2. Найдем разность $f(x+\Delta x) - f(x)$:
$f(x+\Delta x) - f(x) = (1 - 2x - 2\Delta x) - (1 - 2x) = 1 - 2x - 2\Delta x - 1 + 2x = -2\Delta x$

3. Составим отношение и найдем предел:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-2) = -2$

Ответ: $f'(x) = -2$.

2)

Чтобы найти производную функции $f(x) = x^2 + 3x - 2$ по определению, воспользуемся формулой: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

1. Найдем $f(x+\Delta x)$:
$f(x+\Delta x) = (x+\Delta x)^2 + 3(x+\Delta x) - 2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2$

2. Найдем разность $f(x+\Delta x) - f(x)$:
$f(x+\Delta x) - f(x) = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2) - (x^2 + 3x - 2)$
$= x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2$
$= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x$

3. Составим отношение и найдем предел:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x (2x + \Delta x + 3)}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.

277. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^5$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \sqrt[4]{x}$, $x_0 = 625$;

3) $f(x) = \frac{1}{x^6}$, $x_0 = -2$;

4) $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^5$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдём производную функции по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 5 \cdot 1^4 = 5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и точка $x_0 = 625$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$.

Найдём производную функции, используя то же правило:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 625$:

$k = f'(625) = \frac{1}{4} \cdot 625^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot (5^4)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot 5^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = \frac{1}{4} \cdot 5^{-3} = \frac{1}{4 \cdot 5^3} = \frac{1}{4 \cdot 125} = \frac{1}{500}$.

Ответ: $\frac{1}{500}$

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^6}$ и точка $x_0 = -2$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-6}$.

Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^{-6})' = -6x^{-6-1} = -6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$k = f'(-2) = -\frac{6}{(-2)^7} = -\frac{6}{-128} = \frac{6}{128} = \frac{3}{64}$.

Ответ: $\frac{3}{64}$

4) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдём производную функции (производная синуса - косинус):

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$k = f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

278. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 8) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 8

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, $f'(x_0) = \tan(\alpha)$, где $\alpha$ — угол наклона касательной в точке $x_0$.

$f'(x_1)$
На графике показано, что касательная к функции в точке $x_1$ образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $60°$.
Следовательно, значение производной в этой точке равно тангенсу этого угла:
$f'(x_1) = \tan(60°) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

$f'(x_2)$
В точке $x_2$ функция достигает своего локального минимума. Касательная к графику функции в точках экстремума (минимумах и максимумах) всегда горизонтальна, то есть параллельна оси Ox.
Угол наклона горизонтальной прямой к оси Ox равен $0°$.
Следовательно, значение производной в этой точке равно:
$f'(x_2) = \tan(0°) = 0$.
Ответ: $0$.

$f'(x_3)$
На графике показано, что касательная к функции в точке $x_3$ образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $120°$.
Следовательно, значение производной в этой точке равно тангенсу этого угла:
$f'(x_3) = \tan(120°)$.
Используя формулы приведения, находим значение тангенса:
$\tan(120°) = \tan(180° - 60°) = -\tan(60°) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.