Страница 47 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x+1}, x_0 = 3;$

2) $f(x) = \frac{x-3}{|x-3|}, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \begin{cases} 2x+3, \text{ если } x<1, \\ x^2+4, \text{ если } x \geq 1, \end{cases} x_0 = 1;$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{3x+15}{x+5}, \text{ если } x \neq -5, \\ 3, \text{ если } x = -5, \end{cases} x_0 = -5.$

Для того чтобы выяснить, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует $f(x_0)$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1) $f(x) = \sqrt{x+1}$, $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Найдем предел функции при $x \to 3$:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \sqrt{x+1} = \sqrt{3+1} = 2$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(3) = 2$ и $\lim_{x \to 3} f(x) = 2$.
Так как $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 3$.

2) $f(x) = \frac{x-3}{|x-3|}$, $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \frac{2-3}{|2-3|} = \frac{-1}{|-1|} = \frac{-1}{1} = -1$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Найдем предел функции при $x \to 2$. В окрестности точки $x=2$ выражение под модулем $x-3$ является отрицательным, следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{-(x-3)} = \lim_{x \to 2} (-1) = -1$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(2) = -1$ и $\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.
Так как $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 2$.

3) $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x < 1 \\ x^2+4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$, $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$. Так как $1 \ge 1$, используем вторую часть определения функции:
$f(1) = 1^2 + 4 = 5$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Так как определение функции меняется в точке $x_0=1$, найдем односторонние пределы.
Предел слева (при $x \to 1^-$, т.е. $x < 1$):
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x+3) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
Предел справа (при $x \to 1^+$, т.е. $x > 1$):
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2+4) = 1^2 + 4 = 5$.
Поскольку левый и правый пределы равны, предел функции в точке $x_0=1$ существует и равен 5: $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(1) = 5$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$.
Так как $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 1$.

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{3x+15}{x+5}, & \text{если } x \neq -5 \\ 3, & \text{если } x = -5 \end{cases}$, $x_0 = -5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -5$. Согласно второму условию определения функции:
$f(-5) = 3$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Найдем предел функции при $x \to -5$. Для этого используем первую часть определения функции, так как при вычислении предела рассматриваются значения $x$, близкие к -5, но не равные ему:
$\lim_{x \to -5} f(x) = \lim_{x \to -5} \frac{3x+15}{x+5}$.
При подстановке $x=-5$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Упростим выражение в числителе:
$\lim_{x \to -5} \frac{3(x+5)}{x+5}$.
Сократим дробь на $(x+5)$, так как $x \neq -5$:
$\lim_{x \to -5} 3 = 3$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(-5) = 3$ и $\lim_{x \to -5} f(x) = 3$.
Так как $\lim_{x \to -5} f(x) = f(-5)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = -5$.

269. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 3x - 2$, $x_0 = -1$, $\Delta x = 0,3;$

2) $f(x) = 2x^2 - x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,1;$

3) $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$, $\Delta x = \frac{\pi}{6}$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ — это разность между значением функции в точке $x_0 + \Delta x$ и значением функции в точке $x_0$. Оно вычисляется по формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1) Дано: $f(x) = 3x - 2$, $x_0 = -1$, $\Delta x = 0,3$.

Сначала найдем значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.

Далее найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$, где $x_0 + \Delta x = -1 + 0,3 = -0,7$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(-0,7) = 3 \cdot (-0,7) - 2 = -2,1 - 2 = -4,1$.

Теперь вычислим приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -4,1 - (-5) = -4,1 + 5 = 0,9$.

Ответ: 0,9.

2) Дано: $f(x) = 2x^2 - x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,1$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 2 = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$, где $x_0 + \Delta x = 2 + 0,1 = 2,1$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(2,1) = 2 \cdot (2,1)^2 - 2,1 = 2 \cdot 4,41 - 2,1 = 8,82 - 2,1 = 6,72$.

Вычислим приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 6,72 - 6 = 0,72$.

Ответ: 0,72.

3) Дано: $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$, $\Delta x = \frac{\pi}{6}$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$, где $x_0 + \Delta x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Вычислим приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

270. Для функции $f(x) = 4 - 2x$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Для функции $f(x) = 4 - 2x$ и точки $x_0$ необходимо найти отношение приращения функции к приращению аргумента и предел этого отношения.

Нахождение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = 4 - 2(x_0 + \Delta x) = 4 - 2x_0 - 2\Delta x$

Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = 4 - 2x_0$

Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = (4 - 2x_0 - 2\Delta x) - (4 - 2x_0) = 4 - 2x_0 - 2\Delta x - 4 + 2x_0 = -2\Delta x$

Наконец, найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x}{\Delta x} = -2$

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -2$

Нахождение $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

Теперь найдем предел отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Используя результат, полученный в предыдущем пункте:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-2)$

Предел постоянной величины (константы) равен самой этой величине. Поэтому:

$\lim_{\Delta x \to 0} (-2) = -2$

Ответ: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -2$

271. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 + 1$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 4 \text{ с.}$

Мгновенная скорость материальной точки является производной от функции перемещения по времени. В физике это соотношение выражается формулой $v(t) = s'(t)$, где $s(t)$ — закон движения (перемещение), а $v(t)$ — мгновенная скорость.
В данной задаче закон движения задан функцией $s(t) = 3t^2 + 1$.
Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо найти производную от функции $s(t)$ по переменной $t$:
$v(t) = s'(t) = (3t^2 + 1)'$.
Используем правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, производная константы равна нулю, а производная степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$.
$v(t) = (3t^2)' + (1)' = 3 \cdot 2t^{2-1} + 0 = 6t$.
Таким образом, функция мгновенной скорости имеет вид $v(t) = 6t$.
Теперь найдем значение мгновенной скорости в указанный момент времени $t_0 = 4$ с, подставив это значение в найденную функцию скорости:
$v(4) = 6 \cdot 4 = 24$.
Поскольку перемещение измеряется в метрах (м), а время — в секундах (с), то скорость будет измеряться в метрах в секунду (м/с).
Ответ: 24 м/с.

272. Найдите угловой коэффициент:

1) секущей графика функции $y = x^2 + 2$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,1$;

2) касательной к графику функции $y = x^2 + 2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1) секущей графика функции $y = x^2 + 2$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,1$;

Угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$

Для функции $f(x) = x^2 + 2$ найдем значения в точках с заданными абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,1$.

Найдем ординату $y_0$ для точки с абсциссой $x_0 = 1$:

$y_0 = f(x_0) = f(1) = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

Найдем ординату $y_1$ для точки с абсциссой $x_1 = 1,1$:

$y_1 = f(x_1) = f(1,1) = (1,1)^2 + 2 = 1,21 + 2 = 3,21$

Теперь, имея координаты двух точек $(1; 3)$ и $(1,1; 3,21)$, можем вычислить угловой коэффициент секущей:

$k = \frac{3,21 - 3}{1,1 - 1} = \frac{0,21}{0,1} = 2,1$

Ответ: 2,1.

2) касательной к графику функции $y = x^2 + 2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^2 + 2$.

Сначала найдем ее производную:

$f'(x) = (x^2 + 2)' = (x^2)' + (2)' = 2x + 0 = 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2.