Страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Решите уравнение:

1) $ \sin 6x = 1; $

2) $ \sin \frac{2x}{9} = 0; $

3) $ \sin \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) = -1; $

4) $ 2\sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) - \sqrt{3} = 0; $

5) $ 1 + 2\sin(3 - 2x) = 0; $

6) $ 7\sin \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0; $

7) $ \sin(5x - 2) = -\frac{\pi}{2}; $

8) $ \sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6}. $

1) Решим уравнение $ \sin(6x) = 1 $.
Это частный случай уравнения $ \sin(y) = 1 $, решение которого имеет вид $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in Z $ (целые числа).
В нашем случае $ y = 6x $.
$ 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $
Разделим обе части на 6, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{6 \cdot 2} + \frac{2\pi n}{6} $
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

2) Решим уравнение $ \sin(\frac{2x}{9}) = 0 $.
Это частный случай уравнения $ \sin(y) = 0 $, решение которого имеет вид $ y = \pi n $, где $ n \in Z $.
В нашем случае $ y = \frac{2x}{9} $.
$ \frac{2x}{9} = \pi n $
Умножим обе части на 9:
$ 2x = 9\pi n $
Разделим обе части на 2:
$ x = \frac{9\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{9\pi n}{2}, n \in Z $.

3) Решим уравнение $ \sin(4x - \frac{\pi}{3}) = -1 $.
Это частный случай уравнения $ \sin(y) = -1 $, решение которого имеет вид $ y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in Z $.
В нашем случае $ y = 4x - \frac{\pi}{3} $.
$ 4x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $
Перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть:
$ 4x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$ 4x = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi n $
$ 4x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $
Разделим обе части на 4:
$ x = -\frac{\pi}{6 \cdot 4} + \frac{2\pi n}{4} $
$ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

4) Решим уравнение $ 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} = 0 $.
Сначала выразим $ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) $:
$ 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} $
$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in Z $.
В нашем случае $ y = 2x + \frac{\pi}{6} $ и $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Мы знаем, что $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $.
$ 2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
Выразим $ 2x $:
$ 2x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
Разделим обе части на 2:
$ x = -\frac{\pi}{12} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

5) Решим уравнение $ 1 + 2\sin(3 - 2x) = 0 $.
Выразим $ \sin(3 - 2x) $:
$ 2\sin(3 - 2x) = -1 $
$ \sin(3 - 2x) = -\frac{1}{2} $
Используем свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $:
$ -\sin(2x - 3) = -\frac{1}{2} $
$ \sin(2x - 3) = \frac{1}{2} $
Общее решение: $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $. Здесь $ y = 2x - 3 $ и $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.
$ 2x - 3 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $
$ 2x = 3 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $
$ x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

6) Решим уравнение $ 7\sin(3x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0 $.
Выразим $ \sin(3x - \frac{\pi}{4}) $:
$ 7\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = 1 $
$ \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{7} $
Применим общую формулу решения $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.
$ 3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi n $
$ 3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\frac{1}{7}) + \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\frac{1}{7}) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

7) Решим уравнение $ \sin(5x - 2) = -\frac{\pi}{2} $.
Область значений функции синус — отрезок $ [-1, 1] $.
Найдем примерное значение правой части уравнения: $ -\frac{\pi}{2} \approx -\frac{3.14159}{2} \approx -1.57 $.
Так как $ -1.57 < -1 $, значение $ -\frac{\pi}{2} $ не входит в область значений синуса.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.

8) Решим уравнение $ \sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6} $.
Проверим, входит ли правая часть в область значений синуса $ [-1, 1] $.
$ -\frac{\pi}{6} \approx -\frac{3.14159}{6} \approx -0.524 $.
Так как $ -1 \le -0.524 \le 1 $, уравнение имеет решения.
Применим общую формулу $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $.
$ 4x + 3 = (-1)^n \arcsin(-\frac{\pi}{6}) + \pi n $
Используем свойство $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $:
$ 4x + 3 = (-1)^n (-\arcsin(\frac{\pi}{6})) + \pi n $
$ 4x + 3 = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \pi n $
$ 4x = -3 + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \pi n $
$ x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in Z $.
Ответ: $ x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

232. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = -1;$

2) $\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2} \sin x = -1;$

3) $\sin x + \cos x = -\sqrt{2}.$

1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = -1$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Получим: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos\frac{\pi}{6}\sin x - \sin\frac{\pi}{6}\cos x = -\frac{1}{2}$.

Свернем левую часть по формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

а) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi n$.

б) $x - \frac{\pi}{6} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{8\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x = -1$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = -\frac{1}{2}$.

Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$, подставим эти значения:

$\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x = -\frac{1}{2}$.

Свернем левую часть по формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $\cos y = a$ имеет вид $y = \pm\arccos(a) + 2\pi n$.

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Рассмотрим два случая:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{8\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{-8\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$, $x = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = -1$.

Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = -1$.

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

233. Сколько корней уравнения $ \sin \left( 4x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} $ удовлетворяют неравенству $ -\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4} $?

Для того чтобы определить, сколько корней уравнения удовлетворяет заданному неравенству, необходимо сначала найти общее решение уравнения, а затем отобрать те корни, которые попадают в указанный интервал.

1. Решение уравнения.

Решим уравнение $\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Аргумент синуса $4x - \frac{\pi}{6}$ должен быть равен углам, синус которых равен $\frac{1}{2}$. Это углы вида $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$

Случай 2:

$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \pi + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

Итак, мы получили две серии корней.

2. Отбор корней.

Теперь найдем, какие из этих корней удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4}$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$:

Подставим выражение для $x$ в неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{4}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{6} < \frac{1}{12} + \frac{k}{2} < \frac{1}{4}$

Умножим все части на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$-2 < 1 + 6k < 3$

Вычтем 1 из всех частей:

$-3 < 6k < 2$

Разделим все части на 6:

$-\frac{3}{6} < k < \frac{2}{6}$

$-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому двойному неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ корень равен $x = \frac{\pi}{12}$. Этот корень принадлежит заданному интервалу.

Для второй серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$:

Подставим выражение для $x$ в неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{4}$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{2\pi + 3\pi}{12} < \frac{\pi k}{2} < 0$

$-\frac{5\pi}{12} < \frac{\pi k}{2} < 0$

Разделим все части на $\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{2}{\pi} < k < 0$

$-\frac{10}{12} < k < 0$

$-\frac{5}{6} < k < 0$

В этом интервале нет целых значений $k$.

Таким образом, только один корень из всех найденных серий удовлетворяет заданному неравенству.

Ответ: 1

234. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{7\pi x}{5} = 0;$

2) $\sin(5\pi \sqrt{x}) = -1;$

3) $\sin \frac{6\pi x^2}{5} = 1.$

1) Решим уравнение $sin\frac{7\pi x}{5} = 0$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = 0$, решение которого имеет вид $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).
В нашем случае $t = \frac{7\pi x}{5}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$\frac{7\pi x}{5} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Разделим обе части уравнения на $\pi$ (поскольку $\pi \neq 0$):
$\frac{7x}{5} = n$
Умножим обе части на 5:
$7x = 5n$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{5n}{7}$
Ответ: $x = \frac{5n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $sin(5\pi\sqrt{x}) = -1$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Уравнение вида $sin(t) = -1$ имеет решение $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = 5\pi\sqrt{x}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$5\pi\sqrt{x} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$5\sqrt{x} = -\frac{1}{2} + 2n$
$\sqrt{x} = \frac{2n - 1/2}{5} = \frac{4n - 1}{10}$
Так как арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие:
$\frac{4n-1}{10} \ge 0$
$4n - 1 \ge 0$
$4n \ge 1$
$n \ge \frac{1}{4}$
Поскольку $n$ - целое число, то $n$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$. То есть, $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа).
Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = \frac{4n - 1}{10}$ в квадрат:
$x = \left(\frac{4n - 1}{10}\right)^2 = \frac{(4n - 1)^2}{100}$
Ответ: $x = \frac{(4n - 1)^2}{100}$, где $n \in \mathbb{N}$.

3) Решим уравнение $sin\frac{6\pi x^2}{5} = 1$.
Уравнение вида $sin(t) = 1$ имеет решение $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{6\pi x^2}{5}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$\frac{6\pi x^2}{5} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\frac{6x^2}{5} = \frac{1}{2} + 2n$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{6x^2}{5} = \frac{1 + 4n}{2}$
Теперь выразим $x^2$. Умножим обе части на $\frac{5}{6}$:
$x^2 = \frac{5(1 + 4n)}{12}$
Так как $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x^2 \ge 0$:
$\frac{5(1 + 4n)}{12} \ge 0$
$1 + 4n \ge 0$
$4n \ge -1$
$n \ge -\frac{1}{4}$
Поскольку $n$ - целое число, то $n$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$.
Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{5(4n + 1)}{12}}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{5(4n + 1)}{12}}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

235. При каких значениях a имеет решения уравнение:

1) $\sin x = 7 - a$;

2) $(a^2 - 25)\sin x = a + 5$;

3) $\sin x = 2a - a^2 - 2?$

1) Уравнение $ \sin x = 7 - a $ имеет решения тогда и только тогда, когда значение выражения в правой части принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как область значений функции синус $E(\sin x) = [-1; 1]$.
Таким образом, должно выполняться двойное неравенство:
$ -1 \le 7 - a \le 1 $
Вычтем 7 из всех частей неравенства:
$ -1 - 7 \le -a \le 1 - 7 $
$ -8 \le -a \le -6 $
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$ 8 \ge a \ge 6 $
Или, в более привычном виде:
$ 6 \le a \le 8 $
Это означает, что $a$ принадлежит отрезку $[6; 8]$.
Ответ: $ a \in [6; 8] $.

2) Рассмотрим уравнение $ (a^2 - 25)\sin x = a + 5 $.
Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Коэффициент при $ \sin x $ равен нулю.
$ a^2 - 25 = 0 \Rightarrow (a - 5)(a + 5) = 0 $. Отсюда $ a = 5 $ или $ a = -5 $.
- Если $ a = 5 $, уравнение принимает вид: $ 0 \cdot \sin x = 5 + 5 $, то есть $ 0 = 10 $. Это неверное равенство, следовательно, при $ a = 5 $ решений нет.
- Если $ a = -5 $, уравнение принимает вид: $ 0 \cdot \sin x = -5 + 5 $, то есть $ 0 = 0 $. Это верное равенство при любом значении $ x $. Следовательно, при $ a = -5 $ уравнение имеет решения.
Случай 2: Коэффициент при $ \sin x $ не равен нулю, то есть $ a \neq 5 $ и $ a \neq -5 $.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $ a^2 - 25 $:
$ \sin x = \frac{a+5}{a^2 - 25} = \frac{a+5}{(a-5)(a+5)} $
Поскольку $ a \neq -5 $, можно сократить дробь на $ (a+5) $:
$ \sin x = \frac{1}{a-5} $
Это уравнение имеет решения, если $ -1 \le \frac{1}{a-5} \le 1 $.
Это двойное неравенство равносильно совокупности двух систем. Проще решить его, рассмотрев неравенство $ |\frac{1}{a-5}| \le 1 $, что эквивалентно $ |a-5| \ge 1 $.
$ |a-5| \ge 1 $ распадается на два неравенства:
1) $ a - 5 \ge 1 \Rightarrow a \ge 6 $
2) $ a - 5 \le -1 \Rightarrow a \le 4 $
Таким образом, в этом случае решения существуют при $ a \in (-\infty; 4] \cup [6; \infty) $.
Объединим результаты обоих случаев. Из первого случая мы получили, что $ a = -5 $ является решением. Это значение входит в промежуток $ (-\infty; 4] $. Значение $ a = 5 $ не входит ни в один из полученных промежутков, что согласуется с результатом первого случая.
Ответ: $ a \in (-\infty; 4] \cup [6; \infty) $.

3) Уравнение $ \sin x = 2a - a^2 - 2 $ имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
$ -1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1 $
Рассмотрим это двойное неравенство как систему из двух неравенств:
$ \begin{cases} 2a - a^2 - 2 \ge -1 \\ 2a - a^2 - 2 \le 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$ 2a - a^2 - 2 \ge -1 $
$ -a^2 + 2a - 1 \ge 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ a^2 - 2a + 1 \le 0 $
$ (a-1)^2 \le 0 $
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому единственное решение этого неравенства — это случай, когда $ (a-1)^2 = 0 $, то есть $ a = 1 $.
Решим второе неравенство:
$ 2a - a^2 - 2 \le 1 $
$ -a^2 + 2a - 3 \le 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ a^2 - 2a + 3 \ge 0 $
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ a^2 - 2a + 3 $:
$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $.
Поскольку дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ 1 > 0 $), парабола $ y = a^2 - 2a + 3 $ полностью лежит выше оси абсцисс, а значит, выражение $ a^2 - 2a + 3 $ всегда положительно. Таким образом, это неравенство выполняется для любого действительного значения $ a $.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $ a = 1 $ и $ a \in (-\infty; \infty) $. Пересечением этих множеств является $ a = 1 $.
Ответ: $ a = 1 $.

236. Определите количество корней уравнения $\sin 2x = a$ на промежутке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$ в зависимости от значения $a$.

Для решения задачи определим количество корней уравнения $sin(2x) = a$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$ в зависимости от значений параметра $a$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Найдем, какому промежутку принадлежит переменная $t$. Если $x \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$, то $2x \in [2 \cdot (-\frac{\pi}{6}); 2 \cdot \frac{\pi}{3}]$, следовательно, $t \in [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.

Задача сводится к нахождению количества корней уравнения $sin(t) = a$ на промежутке $t \in [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$. Для этого исследуем поведение функции $y = sin(t)$ на данном промежутке.

• На отрезке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}]$ функция $sin(t)$ монотонно возрастает от $sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}]$ функция $sin(t)$ монотонно убывает от $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ до $sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, область значений функции $y = sin(t)$ на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ является отрезок $[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1]$.

Количество корней уравнения $sin(t) = a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = sin(t)$ с горизонтальной прямой $y = a$. Рассмотрим все возможные случаи для $a$.

При $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a > 1$

Значение $a$ находится вне области значений функции $sin(t)$ на рассматриваемом промежутке. Прямая $y=a$ не пересекает график функции, следовательно, уравнение не имеет корней. Ответ: 0 корней.

При $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ ровно один корень $t = -\frac{\pi}{3}$. Ответ: 1 корень.

При $-\frac{\sqrt{3}}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Прямая $y=a$ пересекает график функции $y=sin(t)$ только один раз на участке возрастания, в интервале $(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3})$. Ответ: 1 корень.

При $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ два корня: $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \frac{2\pi}{3}$. Ответ: 2 корня.

При $\frac{\sqrt{3}}{2} < a < 1$

Прямая $y=a$ пересекает график функции дважды: один раз на участке возрастания в интервале $(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2})$ и второй раз на участке убывания в интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3})$. Ответ: 2 корня.

При $a = 1$

Уравнение $sin(t) = 1$ имеет на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ ровно один корень в точке максимума функции $t = \frac{\pi}{2}$. Ответ: 1 корень.

237. Решите графически уравнение $\sin x = -4x$.

Для решения уравнения $ \sin x = -4x $ графическим методом необходимо построить графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -4x $ в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями данного уравнения.

1. График функции $ y = \sin x $ — это синусоида. Это периодическая функция с периодом $ 2\pi $, область значений которой — отрезок $ [-1, 1] $. График проходит через начало координат.

2. График функции $ y = -4x $ — это прямая, проходящая через начало координат $ (0, 0) $. Угловой коэффициент прямой равен -4.

Выполним анализ пересечения графиков:

Очевидно, что оба графика пересекаются в точке $ (0, 0) $, поскольку $ \sin(0) = 0 $ и $ -4 \cdot 0 = 0 $. Следовательно, $ x = 0 $ является корнем уравнения.

Рассмотрим другие возможные случаи:

- При $ x > 0 $:Значения функции $ y = \sin x $ лежат в пределах от -1 до 1 (т.е. $ -1 \le \sin x \le 1 $).Значения функции $ y = -4x $ отрицательны. Если $ x > 1/4 $, то $ -4x < -1 $. Так как $ \sin x \ge -1 $, то на этом промежутке $ \sin x > -4x $, и пересечений нет. Если $ 0 < x \le 1/4 $, то $ \sin x > 0 $, в то время как $ -4x < 0 $. Следовательно, на этом промежутке пересечений также нет. Таким образом, при $ x > 0 $ уравнение не имеет решений.

- При $ x < 0 $:Значения функции $ y = \sin x $ также лежат в пределах от -1 до 1. Значения функции $ y = -4x $ положительны. Если $ x < -1/4 $, то $ -4x > 1 $. Так как $ \sin x \le 1 $, то на этом промежутке $ \sin x < -4x $, и пересечений нет. Если $ -1/4 \le x < 0 $, то $ \sin x < 0 $, в то время как $ -4x > 0 $. Следовательно, на этом промежутке пересечений также нет. Таким образом, при $ x < 0 $ уравнение не имеет решений.

Из анализа следует, что графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -4x $ имеют только одну общую точку — начало координат.

Ответ: $ x = 0 $.

238. Решите уравнение:

1) $ \operatorname{tg} 2x = 0 $

2) $ \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{6} - 4x \right) = 1 $

3) $ 3 \operatorname{tg} \left( 8x - \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0 $

4) $ \operatorname{ctg} 6x = \frac{\sqrt{3}}{3} $

5) $ \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{3} - 5x \right) = 0 $

6) $ 2 \operatorname{ctg} \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) - 4 = 0 $

1) $tg(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $tg(y) = 0$ записывается как $y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, аргумент тангенса $y = 2x$.

$2x = \pi n$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $tg(\frac{\pi}{6} - 4x) = 1$

Общее решение уравнения вида $tg(y) = a$ записывается как $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \frac{\pi}{6} - 4x$ и $a=1$. Мы знаем, что $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{6} - 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $4x$:

$-4x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$-4x = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + \pi n$

$-4x = \frac{\pi}{12} + \pi n$

Разделим обе части на -4:

$x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3tg(8x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить тангенс:

$3tg(8x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$tg(8x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3}$

Используем общую формулу решения $y = arctg(a) + \pi n$, где $y = 8x - \frac{\pi}{4}$ и $a = \frac{1}{3}$.

$8x - \frac{\pi}{4} = arctg(\frac{1}{3}) + \pi n$

Выразим $8x$:

$8x = \frac{\pi}{4} + arctg(\frac{1}{3}) + \pi n$

Разделим обе части на 8:

$x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}arctg(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}arctg(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $ctg(6x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается как $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = 6x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы знаем, что $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

$6x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 6:

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

5) $ctg(\frac{\pi}{3} - 5x) = 0$

Общее решение уравнения вида $ctg(y) = 0$ записывается как $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \frac{\pi}{3} - 5x$.

$\frac{\pi}{3} - 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выразим $5x$:

$-5x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$-5x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$

$-5x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на -5:

$x = -\frac{\pi}{30} - \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{30} - \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

6) $2ctg(2x - \frac{\pi}{6}) - 4 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить котангенс:

$2ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = 4$

$ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = 2$

Используем общую формулу решения $y = arcctg(a) + \pi n$, где $y = 2x - \frac{\pi}{6}$ и $a = 2$.

$2x - \frac{\pi}{6} = arcctg(2) + \pi n$

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{6} + arcctg(2) + \pi n$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}arcctg(2) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}arcctg(2) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.