Номер 233, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Сколько корней уравнения $ \sin \left( 4x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} $ удовлетворяют неравенству $ -\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4} $?

Для того чтобы определить, сколько корней уравнения удовлетворяет заданному неравенству, необходимо сначала найти общее решение уравнения, а затем отобрать те корни, которые попадают в указанный интервал.

1. Решение уравнения.

Решим уравнение $\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Аргумент синуса $4x - \frac{\pi}{6}$ должен быть равен углам, синус которых равен $\frac{1}{2}$. Это углы вида $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$

Случай 2:

$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \pi + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

Итак, мы получили две серии корней.

2. Отбор корней.

Теперь найдем, какие из этих корней удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4}$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$:

Подставим выражение для $x$ в неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{4}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{6} < \frac{1}{12} + \frac{k}{2} < \frac{1}{4}$

Умножим все части на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$-2 < 1 + 6k < 3$

Вычтем 1 из всех частей:

$-3 < 6k < 2$

Разделим все части на 6:

$-\frac{3}{6} < k < \frac{2}{6}$

$-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому двойному неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ корень равен $x = \frac{\pi}{12}$. Этот корень принадлежит заданному интервалу.

Для второй серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$:

Подставим выражение для $x$ в неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{4}$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{2\pi + 3\pi}{12} < \frac{\pi k}{2} < 0$

$-\frac{5\pi}{12} < \frac{\pi k}{2} < 0$

Разделим все части на $\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{2}{\pi} < k < 0$

$-\frac{10}{12} < k < 0$

$-\frac{5}{6} < k < 0$

В этом интервале нет целых значений $k$.

Таким образом, только один корень из всех найденных серий удовлетворяет заданному неравенству.

Ответ: 1