Номер 226, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Сколько корней уравнения $\cos \left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ принадлежат промежутку $\left[\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{2}\right]$?

Для того чтобы найти, сколько корней уравнения принадлежит заданному промежутку, мы сначала решим это тригонометрическое уравнение, а затем отберем те корни, которые попадают в указанный интервал. Удобнее всего это сделать методом замены переменной.

Дано уравнение $ \cos\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и промежуток $ x \in \left[\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{2}\right] $.

1. Введение новой переменной и определение нового промежутка

Пусть $ t = 6x - \frac{\pi}{3} $. Теперь необходимо определить, в каком промежутке будет находиться переменная $t$, если $x$ принадлежит отрезку $ \left[\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{2}\right] $.

Найдем левую границу нового промежутка, подставив минимальное значение $ x = \frac{\pi}{9} $:

$ t_{min} = 6 \cdot \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $.

Найдем правую границу, подставив максимальное значение $ x = \frac{\pi}{2} $:

$ t_{max} = 6 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi - \pi}{3} = \frac{8\pi}{3} $.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества решений уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ на промежутке $ t \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\right] $.

2. Решение уравнения для новой переменной

Общее решение уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ записывается в виде совокупности двух серий:

$ t = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in Z $

$ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in Z $

Рассмотрим каждую серию отдельно.

3. Отбор корней, принадлежащих найденному промежутку

Для первой серии корней $ t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $:

Найдем все целые $k$, для которых выполняется двойное неравенство:

$ \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{8\pi}{3} $

Вычтем $ \frac{\pi}{3} $ из всех частей неравенства:

$ 0 \le 2\pi k \le \frac{7\pi}{3} $

Разделим все части на $ 2\pi $:

$ 0 \le k \le \frac{7}{6} $

Этому условию удовлетворяют целые значения $ k=0 $ и $ k=1 $.

При $k=0$, корень $ t_1 = \frac{\pi}{3} $.

При $k=1$, корень $ t_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

Для второй серии корней $ t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $:

Найдем все целые $k$, для которых выполняется двойное неравенство:

$ \frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{8\pi}{3} $

Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям неравенства:

$ \frac{2\pi}{3} \le 2\pi k \le \frac{9\pi}{3} $

$ \frac{2\pi}{3} \le 2\pi k \le 3\pi $

Разделим все части на $ 2\pi $:

$ \frac{1}{3} \le k \le \frac{3}{2} $

Этому условию удовлетворяет единственное целое значение $ k=1 $.

При $k=1$, корень $ t_3 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} $.

4. Итог

Мы нашли три различных значения $t$, принадлежащих промежутку $ \left[\frac{\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\right] $: $ \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} $ и $ \frac{7\pi}{3} $.

Поскольку зависимость $ t = 6x - \frac{\pi}{3} $ является линейной, каждому уникальному значению $t$ соответствует ровно одно уникальное значение $x$. Следовательно, количество корней исходного уравнения на заданном промежутке равно трем.

Ответ: 3.