Номер 223, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Решите уравнение:

1) $\cos 3x = -1;$

2) $\cos 5x = \frac{1}{2};$

3) $\cos \frac{3x}{7} = 0;$

4) $\cos \left(3x - \frac{\pi}{8}\right) = 1;$

5) $\cos(3 - 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2};$

6) $\cos \frac{4\pi x}{3} = -\frac{1}{2};$

7) $\cos \left(6x + \frac{\pi}{8}\right) = \frac{\pi}{3};$

8) $\cos(4x - 1) = \frac{\pi}{4};$

9) $2 \cos \left(8x - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0;$

10) $4 \cos \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0.$

1) $\cos(3x) = -1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для уравнения вида $\cos(t) = -1$ есть $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 3x$.

$3x = \pi + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(5x) = \frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ есть $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 5x$ и $a = \frac{1}{2}$.

Находим арккосинус: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

$5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos(\frac{3x}{7}) = 0$

Это частный случай. Решение для уравнения вида $\cos(t) = 0$ есть $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{3x}{7}$.

$\frac{3x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{3}$:

$x = \frac{7}{3} \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi n)$

$x = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(3x - \frac{\pi}{8}) = 1$

Это частный случай. Решение для уравнения вида $\cos(t) = 1$ есть $t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 3x - \frac{\pi}{8}$.

$3x - \frac{\pi}{8} = 2\pi n$

$3x = \frac{\pi}{8} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos(3 - 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем общую формулу решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 3 - 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим арккосинус: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

$3 - 2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-2x = -3 \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{3}{2} \mp \frac{\pi}{12} - \pi n$

Поскольку $n$ - любое целое число, то $-n$ также является любым целым числом. Поэтому знак перед $\pi n$ можно заменить на плюс.

$x = \frac{3}{2} \mp \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3}{2} \mp \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\cos(\frac{4\pi x}{3}) = -\frac{1}{2}$

Используем общую формулу решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{4\pi x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Находим арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

$\frac{4\pi x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Умножим обе части на $\frac{3}{4\pi}$:

$x = \frac{3}{4\pi} \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$

$x = \pm \frac{3 \cdot 2\pi}{4\pi \cdot 3} + \frac{3 \cdot 2\pi n}{4\pi}$

$x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} + \frac{3n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

7) $\cos(6x + \frac{\pi}{8}) = \frac{\pi}{3}$

Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$.

Значение в правой части уравнения $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.

Поскольку $\frac{\pi}{3} > 1$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

8) $\cos(4x - 1) = \frac{\pi}{4}$

Значение в правой части уравнения $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $-1 \le \frac{\pi}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу решения:

$4x - 1 = \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$4x = 1 \pm \arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n$

$x = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{4}\arccos(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{4}\arccos(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

9) $2\cos(8x - \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$2\cos(8x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\cos(8x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Находим арккосинус: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

$8x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1 (со знаком плюс):

$8x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$

Случай 2 (со знаком минус):

$8x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$8x = 2\pi n$

$x = \frac{\pi n}{4}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

10) $4\cos(7x + \frac{\pi}{6}) - 3 = 0$

Преобразуем уравнение:

$4\cos(7x + \frac{\pi}{6}) = 3$

$\cos(7x + \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$

Поскольку $-1 \le \frac{3}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

$7x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$7x = -\frac{\pi}{6} \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n$

Разделим обе части на 7:

$x = -\frac{\pi}{42} \pm \frac{1}{7}\arccos(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{42} \pm \frac{1}{7}\arccos(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.