Номер 219, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Упростите выражение:

1) $(\frac{(\sin 7\alpha + \sin \alpha)(\cos 7\alpha + \cos \alpha)}{1 + \cos 6\alpha});$

2) $\left(\frac{\sin \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha}\right) \cdot \frac{\cos 10\alpha - \cos 6\alpha}{\sin 3\alpha};$

3) $(\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2.$

1) Для упрощения числителя воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

Применяя эти формулы к числителю, получаем:

$\sin 7\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha$

$\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha$

Тогда числитель равен:

$(2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha)(2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha) = 4 \sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos^2 3\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, преобразуем выражение:

$4 \sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos^2 3\alpha = 2 \cdot (2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha) \cos^2 3\alpha = 2 \sin 8\alpha \cos^2 3\alpha$

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$:

$1 + \cos 6\alpha = 1 + \cos(2 \cdot 3\alpha) = 2 \cos^2 3\alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{2 \sin 8\alpha \cos^2 3\alpha}{2 \cos^2 3\alpha} = \sin 8\alpha$

Ответ: $\sin 8\alpha$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha} = \frac{\sin \alpha \cos 4\alpha - \cos \alpha \sin 4\alpha}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}$

В числителе используем формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sin \alpha \cos 4\alpha - \cos \alpha \sin 4\alpha = \sin(\alpha - 4\alpha) = \sin(-3\alpha) = -\sin 3\alpha$

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$\sin 4\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2} (2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 4\alpha) = \frac{1}{2} \sin 8\alpha$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{-\sin 3\alpha}{\frac{1}{2} \sin 8\alpha} = -\frac{2 \sin 3\alpha}{\sin 8\alpha}$

Теперь упростим вторую дробь. В числителе применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:

$\cos 10\alpha - \cos 6\alpha = -2 \sin \frac{10\alpha+6\alpha}{2} \sin \frac{10\alpha-6\alpha}{2} = -2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha$

Вторая дробь равна:

$\frac{-2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}$

Перемножим полученные выражения:

$(-\frac{2 \sin 3\alpha}{\sin 8\alpha}) \cdot (\frac{-2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}) = \frac{(-2 \sin 3\alpha)(-2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha)}{\sin 8\alpha \sin 3\alpha}$

Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$(-2) \cdot (-2 \sin 2\alpha) = 4 \sin 2\alpha$

Ответ: $4 \sin 2\alpha$.

3) Раскроем квадраты, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta$

$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta$

Сложим эти два выражения:

$(\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2 \cos \alpha \cos \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 + 1 + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Выражение в скобках является формулой косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$2 + 2 \cos(\alpha - \beta)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2(1 + \cos(\alpha - \beta))$

Используем формулу понижения степени $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$. Полагая $2x = \alpha - \beta$, получаем $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = 2 \cdot (2 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Ответ: $4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.