Номер 222, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Докажите тождество:

1) $\cos 2\alpha + 2\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) = 0,5;$

2) $\cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 4\alpha \sin \alpha = \cos 3\alpha \cos 2\alpha;$

3) $\sin^2 \alpha + \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \frac{1}{4};$

4) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = 1.$

1) Докажем тождество: $\cos(2\alpha) + 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = 0,5$.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой произведения синусов: $2\sin(x)\sin(y) = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.

В данном случае $x = \alpha + \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{6}$.

Найдём $x-y$ и $x+y$:

$x-y = (\alpha + \frac{\pi}{6}) - (\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

$x+y = (\alpha + \frac{\pi}{6}) + (\alpha - \frac{\pi}{6}) = 2\alpha$.

Подставим полученные значения в формулу произведения синусов:

$2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$\cos(2\alpha) + (\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\alpha)) = \cos(2\alpha) - \cos(2\alpha) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Значение косинуса $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0,5$.

Таким образом, левая часть равна $0,5$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: $0,5 = 0,5$.

2) Докажем тождество: $\cos(2\alpha)\cos(\alpha) - \sin(4\alpha)\sin(\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(2\alpha)$.

Преобразуем левую часть. Сначала используем формулу синуса двойного угла для $\sin(4\alpha)$: $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$.

$\cos(2\alpha)\cos(\alpha) - 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)\sin(\alpha)$.

Вынесем общий множитель $\cos(2\alpha)$ за скобки:

$\cos(2\alpha)(\cos(\alpha) - 2\sin(2\alpha)\sin(\alpha))$.

Преобразуем выражение $2\sin(2\alpha)\sin(\alpha)$ в скобках, используя формулу произведения синусов $2\sin(x)\sin(y) = \cos(x-y) - \cos(x+y)$, где $x=2\alpha$ и $y=\alpha$:

$2\sin(2\alpha)\sin(\alpha) = \cos(2\alpha-\alpha) - \cos(2\alpha+\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(3\alpha)$.

Подставим результат обратно в наше выражение:

$\cos(2\alpha)(\cos(\alpha) - (\cos(\alpha) - \cos(3\alpha))) = \cos(2\alpha)(\cos(\alpha) - \cos(\alpha) + \cos(3\alpha)) = \cos(2\alpha)\cos(3\alpha)$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\cos(3\alpha)\cos(2\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(2\alpha)$.

3) Докажем тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{4}$.

Преобразуем произведение косинусов в левой части, используя формулу $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2(x) - \sin^2(y)$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2(\alpha)$.

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то $\cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Теперь подставим это в левую часть исходного тождества:

$\sin^2(\alpha) + (\frac{1}{4} - \sin^2(\alpha)) = \sin^2(\alpha) + \frac{1}{4} - \sin^2(\alpha) = \frac{1}{4}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

4) Докажем тождество: $\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = 1$.

Преобразуем произведение косинусов, используя ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2(x) - \sin^2(y)$.

Здесь $x = \alpha$ и $y = \beta$.

$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$.

Упростим выражение, сократив $\sin^2(\beta)$:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \sin^2(\beta) - \sin^2(\beta) = (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)) + 0$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:

$1 + 0 = 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1=1$.