Номер 228, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. При каких значениях $a$ уравнение имеет решения:

1) $\cos x = a + 2;$

2) $\cos x = a^2 - 8a + 17;$

3) $(a - 5)\cos x = a + 3?$

Основное условие, при котором уравнение вида $cos x = A$ имеет решения, заключается в том, что значение $A$ должно находиться в области значений функции косинуса, то есть $-1 \le A \le 1$.

1) $cos x = a + 2$

Уравнение имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим двойное неравенство:

$-1 \le a + 2 \le 1$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 - 2 \le a \le 1 - 2$

$-3 \le a \le -1$

Таким образом, решения существуют при $a \in [-3; -1]$.

Ответ: $a \in [-3; -1]$.

2) $cos x = a^2 - 8a + 17$

Применим то же условие:

$-1 \le a^2 - 8a + 17 \le 1$

Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$a^2 - 8a + 17 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 16 + 1 = (a - 4)^2 + 1$

Подставим это выражение в наше неравенство:

$-1 \le (a - 4)^2 + 1 \le 1$

Рассмотрим выражение $(a - 4)^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a - 4)^2 \ge 0$.
Следовательно, $(a - 4)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, двойное неравенство может выполняться только в одном случае, когда обе его части равны 1:

$(a - 4)^2 + 1 = 1$

$(a - 4)^2 = 0$

$a - 4 = 0$

$a = 4$

При $a = 4$ исходное уравнение принимает вид $cos x = 1$, которое имеет решения.

Ответ: $a = 4$.

3) $(a - 5)cos x = a + 3$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $cos x$ равен нулю.

$a - 5 = 0 \implies a = 5$

Подставим $a = 5$ в исходное уравнение:

$(5 - 5)cos x = 5 + 3$

$0 \cdot cos x = 8$

$0 = 8$

Получили неверное равенство, следовательно, при $a = 5$ решений нет.

Случай 2: Коэффициент при $cos x$ не равен нулю.

$a - 5 \ne 0 \implies a \ne 5$

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 5)$:

$cos x = \frac{a + 3}{a - 5}$

Уравнение имеет решения, если выполняется условие:

$-1 \le \frac{a + 3}{a - 5} \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{a + 3}{a - 5} \ge -1 \\ \frac{a + 3}{a - 5} \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{a + 3}{a - 5} + 1 \ge 0$

$\frac{a + 3 + a - 5}{a - 5} \ge 0$

$\frac{2a - 2}{a - 5} \ge 0$

$\frac{a - 1}{a - 5} \ge 0$

Решая методом интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty; 1] \cup (5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{a + 3}{a - 5} - 1 \le 0$

$\frac{a + 3 - (a - 5)}{a - 5} \le 0$

$\frac{a + 3 - a + 5}{a - 5} \le 0$

$\frac{8}{a - 5} \le 0$

Так как числитель 8 положителен, дробь будет неположительной, если знаменатель отрицателен:

$a - 5 < 0 \implies a < 5$.

Решением второго неравенства является $a \in (-\infty; 5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$a \in ((-\infty; 1] \cup (5; +\infty)) \cap (-\infty; 5)$

Пересечением является интервал $(-\infty; 1]$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1]$.