Номер 230, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Определите графически количество корней уравнения:

1) $ \cos x = 4x; $

2) $ \cos x = 3x^2 - 2. $

1) Для определения количества корней уравнения $ \cos x = 4x $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 4x $.

График функции $ y = \cos x $ — это косинусоида. Её область значений — отрезок $ [-1, 1] $. График функции $ y = 4x $ — это прямая, проходящая через начало координат.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков. Точки пересечения могут существовать только при условии, что значения обеих функций совпадают. Так как $ -1 \le \cos x \le 1 $, то и для второй функции должно выполняться условие $ -1 \le 4x \le 1 $. Отсюда следует, что все возможные корни уравнения лежат на отрезке $ [-1/4, 1/4] $.

Рассмотрим поведение функций на этом отрезке. При $ x > 0 $, функция $ y = 4x $ возрастает, а функция $ y = \cos x $ на интервале $ (0, \pi/2) $ (куда входит наш отрезок) убывает. При $ x=0 $, $ \cos(0) = 1 $, а $ 4 \cdot 0 = 0 $. То есть график косинуса находится выше графика прямой. На правой границе отрезка, при $ x = 1/4 $, $ \cos(1/4) < 1 $, а $ 4 \cdot (1/4) = 1 $. То есть график прямой оказывается выше графика косинуса. Поскольку на отрезке $ [0, 1/4] $ одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их значения "меняются местами", они могут пересечься только в одной точке на этом отрезке.

Чтобы доказать, что корень единственный, рассмотрим производные. Производная $ (\cos x)' = -\sin x $ на отрезке $ [-1/4, 1/4] $ изменяется в небольшом диапазоне около нуля. Производная $ (4x)' = 4 $. Поскольку производная функции $ y=4x $ всегда больше производной функции $ y=\cos x $ ($ 4 > -\sin x $), графики могут пересечься не более одного раза.

Так как наличие корня на отрезке $ [0, 1/4] $ очевидно, а пересечений не может быть больше одного, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

2) Для определения количества корней уравнения $ \cos x = 3x^2 - 2 $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 3x^2 - 2 $.

График функции $ y = \cos x $ — косинусоида с областью значений $ [-1, 1] $. Это чётная функция.

График функции $ y = 3x^2 - 2 $ — парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $ (0, -2) $. Это также чётная функция. Поскольку обе функции являются чётными, их графики симметричны относительно оси OY. Это означает, что если $ x_0 $ — корень уравнения, то и $ -x_0 $ также является корнем. Поэтому достаточно найти количество положительных корней и удвоить его (проверив, не является ли $ x=0 $ корнем).

Пересечение графиков возможно, только если значения параболы находятся в диапазоне $ [-1, 1] $. Решим двойное неравенство:$ -1 \le 3x^2 - 2 \le 1 $Прибавим 2 ко всем частям:$ 1 \le 3x^2 \le 3 $Разделим на 3:$ 1/3 \le x^2 \le 1 $Это неравенство справедливо для $ x \in [-1, -1/\sqrt{3}] \cup [1/\sqrt{3}, 1] $.

Рассмотрим положительный промежуток $ x \in [1/\sqrt{3}, 1] $. На левой границе, при $ x = 1/\sqrt{3} $:$ y_{парабола} = 3(1/\sqrt{3})^2 - 2 = 1 - 2 = -1 $.$ y_{косинус} = \cos(1/\sqrt{3}) $. Так как $ 0 < 1/\sqrt{3} < \pi/2 $, то $ \cos(1/\sqrt{3}) > 0 $. Следовательно, на этой границе график косинуса выше графика параболы.

На правой границе, при $ x = 1 $:$ y_{парабола} = 3(1)^2 - 2 = 1 $.$ y_{косинус} = \cos(1) $. Так как $ 0 < 1 < \pi/2 $, то $ 0 < \cos(1) < 1 $. Следовательно, на этой границе график параболы выше графика косинуса.

Поскольку на отрезке $ [1/\sqrt{3}, 1] $ графики непрерывных функций "меняются местами", они должны пересечься хотя бы один раз. На этом интервале парабола $ y = 3x^2 - 2 $ монотонно возрастает, а косинусоида $ y = \cos x $ монотонно убывает. В такой ситуации возможно только одно пересечение.

Итак, на промежутке $ (0, \infty) $ есть ровно один корень. В силу симметрии, на промежутке $ (-\infty, 0) $ также есть ровно один корень. Проверим $ x=0 $: $ \cos(0) = 1 $, а $ 3(0)^2-2 = -2 $. Равенство не выполняется, значит $ x=0 $ не является корнем.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.