Номер 235, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. При каких значениях a имеет решения уравнение:

1) $\sin x = 7 - a$;

2) $(a^2 - 25)\sin x = a + 5$;

3) $\sin x = 2a - a^2 - 2?$

1) Уравнение $ \sin x = 7 - a $ имеет решения тогда и только тогда, когда значение выражения в правой части принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как область значений функции синус $E(\sin x) = [-1; 1]$.
Таким образом, должно выполняться двойное неравенство:
$ -1 \le 7 - a \le 1 $
Вычтем 7 из всех частей неравенства:
$ -1 - 7 \le -a \le 1 - 7 $
$ -8 \le -a \le -6 $
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$ 8 \ge a \ge 6 $
Или, в более привычном виде:
$ 6 \le a \le 8 $
Это означает, что $a$ принадлежит отрезку $[6; 8]$.
Ответ: $ a \in [6; 8] $.

2) Рассмотрим уравнение $ (a^2 - 25)\sin x = a + 5 $.
Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Коэффициент при $ \sin x $ равен нулю.
$ a^2 - 25 = 0 \Rightarrow (a - 5)(a + 5) = 0 $. Отсюда $ a = 5 $ или $ a = -5 $.
- Если $ a = 5 $, уравнение принимает вид: $ 0 \cdot \sin x = 5 + 5 $, то есть $ 0 = 10 $. Это неверное равенство, следовательно, при $ a = 5 $ решений нет.
- Если $ a = -5 $, уравнение принимает вид: $ 0 \cdot \sin x = -5 + 5 $, то есть $ 0 = 0 $. Это верное равенство при любом значении $ x $. Следовательно, при $ a = -5 $ уравнение имеет решения.
Случай 2: Коэффициент при $ \sin x $ не равен нулю, то есть $ a \neq 5 $ и $ a \neq -5 $.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $ a^2 - 25 $:
$ \sin x = \frac{a+5}{a^2 - 25} = \frac{a+5}{(a-5)(a+5)} $
Поскольку $ a \neq -5 $, можно сократить дробь на $ (a+5) $:
$ \sin x = \frac{1}{a-5} $
Это уравнение имеет решения, если $ -1 \le \frac{1}{a-5} \le 1 $.
Это двойное неравенство равносильно совокупности двух систем. Проще решить его, рассмотрев неравенство $ |\frac{1}{a-5}| \le 1 $, что эквивалентно $ |a-5| \ge 1 $.
$ |a-5| \ge 1 $ распадается на два неравенства:
1) $ a - 5 \ge 1 \Rightarrow a \ge 6 $
2) $ a - 5 \le -1 \Rightarrow a \le 4 $
Таким образом, в этом случае решения существуют при $ a \in (-\infty; 4] \cup [6; \infty) $.
Объединим результаты обоих случаев. Из первого случая мы получили, что $ a = -5 $ является решением. Это значение входит в промежуток $ (-\infty; 4] $. Значение $ a = 5 $ не входит ни в один из полученных промежутков, что согласуется с результатом первого случая.
Ответ: $ a \in (-\infty; 4] \cup [6; \infty) $.

3) Уравнение $ \sin x = 2a - a^2 - 2 $ имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
$ -1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1 $
Рассмотрим это двойное неравенство как систему из двух неравенств:
$ \begin{cases} 2a - a^2 - 2 \ge -1 \\ 2a - a^2 - 2 \le 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$ 2a - a^2 - 2 \ge -1 $
$ -a^2 + 2a - 1 \ge 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ a^2 - 2a + 1 \le 0 $
$ (a-1)^2 \le 0 $
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому единственное решение этого неравенства — это случай, когда $ (a-1)^2 = 0 $, то есть $ a = 1 $.
Решим второе неравенство:
$ 2a - a^2 - 2 \le 1 $
$ -a^2 + 2a - 3 \le 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ a^2 - 2a + 3 \ge 0 $
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ a^2 - 2a + 3 $:
$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $.
Поскольку дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ 1 > 0 $), парабола $ y = a^2 - 2a + 3 $ полностью лежит выше оси абсцисс, а значит, выражение $ a^2 - 2a + 3 $ всегда положительно. Таким образом, это неравенство выполняется для любого действительного значения $ a $.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $ a = 1 $ и $ a \in (-\infty; \infty) $. Пересечением этих множеств является $ a = 1 $.
Ответ: $ a = 1 $.