Номер 238, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Решите уравнение:

1) $ \operatorname{tg} 2x = 0 $

2) $ \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{6} - 4x \right) = 1 $

3) $ 3 \operatorname{tg} \left( 8x - \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0 $

4) $ \operatorname{ctg} 6x = \frac{\sqrt{3}}{3} $

5) $ \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{3} - 5x \right) = 0 $

6) $ 2 \operatorname{ctg} \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) - 4 = 0 $

1) $tg(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $tg(y) = 0$ записывается как $y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, аргумент тангенса $y = 2x$.

$2x = \pi n$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $tg(\frac{\pi}{6} - 4x) = 1$

Общее решение уравнения вида $tg(y) = a$ записывается как $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \frac{\pi}{6} - 4x$ и $a=1$. Мы знаем, что $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{6} - 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $4x$:

$-4x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$-4x = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + \pi n$

$-4x = \frac{\pi}{12} + \pi n$

Разделим обе части на -4:

$x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3tg(8x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить тангенс:

$3tg(8x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$tg(8x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3}$

Используем общую формулу решения $y = arctg(a) + \pi n$, где $y = 8x - \frac{\pi}{4}$ и $a = \frac{1}{3}$.

$8x - \frac{\pi}{4} = arctg(\frac{1}{3}) + \pi n$

Выразим $8x$:

$8x = \frac{\pi}{4} + arctg(\frac{1}{3}) + \pi n$

Разделим обе части на 8:

$x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}arctg(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}arctg(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $ctg(6x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается как $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = 6x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы знаем, что $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

$6x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 6:

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

5) $ctg(\frac{\pi}{3} - 5x) = 0$

Общее решение уравнения вида $ctg(y) = 0$ записывается как $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \frac{\pi}{3} - 5x$.

$\frac{\pi}{3} - 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выразим $5x$:

$-5x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$-5x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$

$-5x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на -5:

$x = -\frac{\pi}{30} - \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{30} - \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

6) $2ctg(2x - \frac{\pi}{6}) - 4 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить котангенс:

$2ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = 4$

$ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = 2$

Используем общую формулу решения $y = arcctg(a) + \pi n$, где $y = 2x - \frac{\pi}{6}$ и $a = 2$.

$2x - \frac{\pi}{6} = arcctg(2) + \pi n$

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{6} + arcctg(2) + \pi n$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}arcctg(2) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}arcctg(2) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.