Номер 244, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Вычислите:

1) $tg(arctg 5);$

2) $sin(arcsin \frac{\pi}{7});$

3) $cos(arccos \frac{\sqrt{3}}{2}).$

1) По определению арктангенса, $arctg(a)$ — это такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что $tg(\alpha) = a$. В выражении $tg(arctg(5))$, $arctg(5)$ является числом (углом), тангенс которого равен 5. Таким образом, применяя тангенс к этому числу, мы по определению получаем 5. Это следует из основного тождества для обратных тригонометрических функций: $tg(arctg(x)) = x$ для любого действительного числа $x$.
Ответ: 5

2) По определению арксинуса, $arcsin(a)$ — это такое число $\alpha$ из интервала $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $sin(\alpha) = a$. Основное тождество для арксинуса гласит: $sin(arcsin(x)) = x$. Это тождество справедливо при условии, что $x$ принадлежит области определения арксинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{7}$. Нам нужно проверить, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{7} \le 1$.
Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$\frac{\pi}{7} \approx \frac{3.14159}{7} \approx 0.4488$.
Так как $-1 \le 0.4488 \le 1$, условие выполняется.
Следовательно, $sin(arcsin(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{\pi}{7}$

3) По определению арккосинуса, $arccos(a)$ — это такое число $\alpha$ из интервала $[0, \pi]$, что $cos(\alpha) = a$. Основное тождество для арккосинуса: $cos(arccos(x)) = x$. Это тождество справедливо при условии, что $x$ принадлежит области определения арккосинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.
В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$.
Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$.
Так как $-1 \le 0.866 \le 1$, условие выполняется.
Следовательно, $cos(arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$