Номер 251, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Решите уравнение:

1) $\sin 8x + \cos 8x = 0;$

2) $\sqrt{3} \sin 4x - \cos 4x = 0;$

3) $6 \cos \frac{x}{4} - 5 \sin \frac{x}{4} = 0;$

4) $2 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0.$

1) $ \sin(8x) + \cos(8x) = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на $ \cos(8x) $. Это возможно, так как если бы $ \cos(8x) = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin(8x) = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку $ \sin^2(8x) + \cos^2(8x) = 1 $.

$ \frac{\sin(8x)}{\cos(8x)} + \frac{\cos(8x)}{\cos(8x)} = 0 $

$ \tan(8x) + 1 = 0 $

$ \tan(8x) = -1 $

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ 8x = \arctan(-1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 8x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $

Выражаем $ x $:

$ x = \frac{1}{8} \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) $

$ x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{8} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{8} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3}\sin(4x) - \cos(4x) = 0 $

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $ \cos(4x) $, так как $ \cos(4x) \neq 0 $ по той же причине, что и в предыдущем примере.

$ \sqrt{3}\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)} - \frac{\cos(4x)}{\cos(4x)} = 0 $

$ \sqrt{3}\tan(4x) - 1 = 0 $

$ \sqrt{3}\tan(4x) = 1 $

$ \tan(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Решаем уравнение:

$ 4x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 4x = \frac{\pi}{6} + \pi n $

Выражаем $ x $:

$ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ 6\cos\frac{x}{4} - 5\sin\frac{x}{4} = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $ \cos(\frac{x}{4}) $ ($ \cos(\frac{x}{4}) \neq 0 $).

$ 6\frac{\cos(x/4)}{\cos(x/4)} - 5\frac{\sin(x/4)}{\cos(x/4)} = 0 $

$ 6 - 5\tan(\frac{x}{4}) = 0 $

$ 5\tan(\frac{x}{4}) = 6 $

$ \tan(\frac{x}{4}) = \frac{6}{5} $

Решаем уравнение:

$ \frac{x}{4} = \arctan\left(\frac{6}{5}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Выражаем $ x $:

$ x = 4\arctan\left(\frac{6}{5}\right) + 4\pi n $

Ответ: $ x = 4\arctan(\frac{6}{5}) + 4\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 2\sin^2\frac{x}{2} + 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2(\frac{x}{2}) $. Это действие правомерно, так как если $ \cos(\frac{x}{2}) = 0 $, то из уравнения следует $ 2\sin^2(\frac{x}{2}) = 0 $, то есть $ \sin(\frac{x}{2}) = 0 $, что невозможно.

$ 2\frac{\sin^2(x/2)}{\cos^2(x/2)} + 3\frac{\sin(x/2)\cos(x/2)}{\cos^2(x/2)} + \frac{\cos^2(x/2)}{\cos^2(x/2)} = 0 $

$ 2\tan^2(\frac{x}{2}) + 3\tan(\frac{x}{2}) + 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \tan(\frac{x}{2}) $. Уравнение примет вид:

$ 2t^2 + 3t + 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $

$ t_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $

Теперь вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1. $ \tan(\frac{x}{2}) = -1 $

$ \frac{x}{2} = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $

2. $ \tan(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2} $

$ \frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = -2\arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi k $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $; $ x = -2\arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.