Номер 257, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Решите уравнение:

1) $ \cos 3x + \cos 5x = 0 $;

2) $ \sin 4x + \sin 6x = 0 $;

3) $ \cos 4x - \cos 3x = 0 $;

4) $ \sin x - \sin 6x = 0 $;

5) $ \sin 2x + \sin 6x = 2 \cos 2x $;

6) $ \cot^3 x + \cot^2 x - 4 \cot x - 4 = 0 $;

7) $ 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x + 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 $;

8) $ (1 - \cos x) \tan x + \cos x - 1 = 0 $.

1) $\cos3x + \cos5x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\frac{3x+5x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 0$

$2\cos(4x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1. $\cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений не пересекаются.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin4x + \sin6x = 0$

Используем формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\sin\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0$

$2\sin(5x)\cos(x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\sin(5x) = 0$

$5x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos4x - \cos3x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\cos4x = \cos3x$.

Равенство косинусов $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi k$.

1. $4x = 3x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $4x = -3x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$7x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что первая серия решений ($x = 2\pi k$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{2\pi n}{7}$) при $n=7k$. Следовательно, достаточно указать только вторую серию.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x - \sin 6x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sin x = \sin 6x$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$.

1. $x = 6x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$-5x = 2\pi k$

$x = -\frac{2\pi k}{5}$ или $x = \frac{2\pi k}{5}$, так как $k$ — любое целое число.

2. $x = \pi - 6x + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$7x = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi(1+2n)}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}$, $x = \frac{\pi(1+2n)}{7}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin2x + \sin6x = 2\cos2x$

Применим формулу суммы синусов к левой части уравнения:

$2\sin\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 2\cos2x$

$2\sin(4x)\cos(2x) = 2\cos2x$

$2\sin(4x)\cos(2x) - 2\cos(2x) = 0$

$2\cos(2x)(\sin(4x) - 1) = 0$

Получаем два случая:

1. $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin(4x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(4x) = 1$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\text{ctg}^3 x + \text{ctg}^2 x - 4\text{ctg} x - 4 = 0$

Сделаем замену $y = \text{ctg} x$. Уравнение примет вид:

$y^3 + y^2 - 4y - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^3 + y^2) - (4y + 4) = 0$

$y^2(y+1) - 4(y+1) = 0$

$(y^2-4)(y+1) = 0$

$(y-2)(y+2)(y+1) = 0$

Корни этого уравнения: $y_1=2$, $y_2=-2$, $y_3=-1$.

Выполним обратную замену:

1. $\text{ctg} x = 2 \Rightarrow x = \text{arcctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\text{ctg} x = -2 \Rightarrow x = \text{arcctg}(-2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

3. $\text{ctg} x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$ или $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \text{arcctg}(2) + \pi k$, $x = \text{arcctg}(-2) + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.

7) $2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x + 2\cos x - \sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2\sin x \cos x + 2\cos x) - (\sqrt{3}\sin x + \sqrt{3}) = 0$

$2\cos x(\sin x + 1) - \sqrt{3}(\sin x + 1) = 0$

$(2\cos x - \sqrt{3})(\sin x + 1) = 0$

Получаем два случая:

1. $2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

8) $(1 - \cos x)\text{tg} x + \cos x - 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$ за скобки (предварительно изменив знак у последних двух слагаемых):

$(1 - \cos x)\text{tg} x - (1 - \cos x) = 0$

$(1 - \cos x)(\text{tg} x - 1) = 0$

Получаем два случая:

1. $1 - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 1$

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

2. $\text{tg} x - 1 = 0 \Rightarrow \text{tg} x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.