Номер 258, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x - \cos 5x = 0; $

2) $ \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = 1; $

3) $ \cos 9x - \cos 5x = \sqrt{3} \sin 2x; $

4) $ \sin x + \sin 5x = \sin 3x - \sin 9x. $

1) $\sin 2x - \cos 5x = 0$

Перенесем $\cos 5x$ в правую часть уравнения:

$\sin 2x = \cos 5x$

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

$A = B + 2\pi n$ или $A = \pi - B + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первый случай:

$2x = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n$

$7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим второй случай:

$2x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k$

$2x = \pi - \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k$

$2x - 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$-3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi n}{7}, x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \sin(\frac{\pi}{4} - x) = 1$

Это уравнение вида $a\cos t + b\sin t = c$. Используем метод введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\pi}{4} - x)) = 1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения:

$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{4} - x) + \sin\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4} - x)) = 1$

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - (\frac{\pi}{4} - x)) = 1$

$\sqrt{2}\cos(x) = 1$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого уравнения:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 9x - \cos 5x = \sqrt{3} \sin 2x$

Применим к левой части формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin(\frac{9x+5x}{2})\sin(\frac{9x-5x}{2}) = \sqrt{3}\sin 2x$

$-2\sin(7x)\sin(2x) = \sqrt{3}\sin 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-2\sin(7x)\sin(2x) - \sqrt{3}\sin 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x(-2\sin 7x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

2) $-2\sin 7x - \sqrt{3} = 0$

$\sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$7x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$

$7x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$

$7x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$

$x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{(-1)^{k+1}\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}, n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x - \sin 9x$

Перегруппируем слагаемые и применим формулы суммы и разности синусов:

$\sin 5x + \sin x = -(\sin 9x - \sin 3x)$

Используем формулы $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ и $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin(\frac{5x+x}{2})\cos(\frac{5x-x}{2}) = -2\cos(\frac{9x+3x}{2})\sin(\frac{9x-3x}{2})$

$2\sin 3x \cos 2x = -2\cos 6x \sin 3x$

Перенесем все в левую часть:

$2\sin 3x \cos 2x + 2\cos 6x \sin 3x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin 3x$:

$2\sin 3x (\cos 2x + \cos 6x) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю.

1) $\sin 3x = 0$

$3x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x + \cos 6x = 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos(\frac{2x+6x}{2})\cos(\frac{6x-2x}{2}) = 0$

$2\cos 4x \cos 2x = 0$

Это дает еще два случая:

2a) $\cos 4x = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2b) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, n, k, m \in \mathbb{Z}$.