Номер 264, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

264. Решите неравенство:

1) $\cos 2x < \frac{1}{2}$;

2) $\sin \frac{x}{6} \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\cos \left(x + \frac{\pi}{18}\right) > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) $\sin \left(4x - \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{2}$;

5) $\operatorname{ctg} \left(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{10}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{3}$;

6) $\operatorname{tg} \left(\frac{3x}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Решим неравенство $ \cos{2x} < \frac{1}{2} $.
Введем замену переменной: пусть $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \cos{t} < \frac{1}{2} $.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является совокупность интервалов, которые на единичной окружности соответствуют дуге, где абсцисса (косинус) меньше $ \frac{1}{2} $.
Найдем углы, для которых $ \cos{t} = \frac{1}{2} $. Это $ t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Таким образом, решение для $ t $ имеет вид:
$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = 2x $:
$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $.
Разделим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти $ x $:
$ \frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \sin{\frac{x}{6}} \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Введем замену: пусть $ t = \frac{x}{6} $. Неравенство примет вид $ \sin{t} \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением этого неравенства являются углы, для которых ордината (синус) на единичной окружности больше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Найдем углы, для которых $ \sin{t} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это $ t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $ и $ t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $ (или $ t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $).
Решение для $ t $:
$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = \frac{x}{6} $:
$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{6} \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $.
Умножим все части неравенства на 6, чтобы найти $ x $:
$ -\frac{6\pi}{4} + 12\pi n \le x \le \frac{30\pi}{4} + 12\pi n $.
$ -\frac{3\pi}{2} + 12\pi n \le x \le \frac{15\pi}{2} + 12\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in [-\frac{3\pi}{2} + 12\pi n; \frac{15\pi}{2} + 12\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \cos{(x + \frac{\pi}{18})} > \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Введем замену: пусть $ t = x + \frac{\pi}{18} $. Неравенство примет вид $ \cos{t} > \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдем на единичной окружности дугу, где абсцисса (косинус) больше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Углы, для которых $ \cos{t} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, равны $ t = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Решение для $ t $:
$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = x + \frac{\pi}{18} $:
$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{18} < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{18} $ из всех частей неравенства:
$ -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{18} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{18} + 2\pi n $.
$ -\frac{3\pi}{18} - \frac{\pi}{18} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{18} - \frac{\pi}{18} + 2\pi n $.
$ -\frac{4\pi}{18} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{18} + 2\pi n $.
$ -\frac{2\pi}{9} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{9} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in (-\frac{2\pi}{9} + 2\pi n; \frac{\pi}{9} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \sin{(4x - \frac{\pi}{6})} < \frac{1}{2} $.
Введем замену: пусть $ t = 4x - \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \sin{t} < \frac{1}{2} $.
Найдем на единичной окружности дугу, где ордината (синус) меньше $ \frac{1}{2} $.
Углы, для которых $ \sin{t} = \frac{1}{2} $, равны $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $ и $ t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Решение для $ t $:
$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = 4x - \frac{\pi}{6} $:
$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 4x - \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $.
Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям неравенства:
$ \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.
$ \frac{6\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{14\pi}{6} + 2\pi n $.
$ \pi + 2\pi n < 4x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n $.
Разделим все части на 4:
$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \text{ctg}(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{10}) \le \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Введем замену: пусть $ t = \frac{x}{5} - \frac{\pi}{10} $. Неравенство примет вид $ \text{ctg}{t} \le \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Функция котангенса убывает на своем периоде. Найдем угол, для которого $ \text{ctg}{t} = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Это $ t = \frac{\pi}{3} $.
Учитывая область определения котангенса ($ t \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} $) и его периодичность (период $ \pi $), решение для $ t $ имеет вид:
$ \frac{\pi}{3} + \pi n \le t < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = \frac{x}{5} - \frac{\pi}{10} $:
$ \frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{x}{5} - \frac{\pi}{10} < \pi + \pi n $.
Прибавим $ \frac{\pi}{10} $ ко всем частям неравенства:
$ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{10} + \pi n \le \frac{x}{5} < \pi + \frac{\pi}{10} + \pi n $.
$ \frac{10\pi + 3\pi}{30} + \pi n \le \frac{x}{5} < \frac{10\pi + \pi}{10} + \pi n $.
$ \frac{13\pi}{30} + \pi n \le \frac{x}{5} < \frac{11\pi}{10} + \pi n $.
Умножим все части на 5:
$ \frac{13\pi \cdot 5}{30} + 5\pi n \le x < \frac{11\pi \cdot 5}{10} + 5\pi n $.
$ \frac{13\pi}{6} + 5\pi n \le x < \frac{11\pi}{2} + 5\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in [\frac{13\pi}{6} + 5\pi n; \frac{11\pi}{2} + 5\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

6) Решим неравенство $ \text{tg}(\frac{3x}{4} + \frac{\pi}{4}) \ge -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Введем замену: пусть $ t = \frac{3x}{4} + \frac{\pi}{4} $. Неравенство примет вид $ \text{tg}{t} \ge -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Функция тангенса возрастает на своем периоде. Найдем угол, для которого $ \text{tg}{t} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Это $ t = -\frac{\pi}{6} $.
Учитывая область определения тангенса ($ t \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $) и его периодичность (период $ \pi $), решение для $ t $ имеет вид:
$ -\frac{\pi}{6} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = \frac{3x}{4} + \frac{\pi}{4} $:
$ -\frac{\pi}{6} + \pi n \le \frac{3x}{4} + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей неравенства:
$ -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{3x}{4} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n $.
$ \frac{-2\pi - 3\pi}{12} + \pi n \le \frac{3x}{4} < \frac{2\pi - \pi}{4} + \pi n $.
$ -\frac{5\pi}{12} + \pi n \le \frac{3x}{4} < \frac{\pi}{4} + \pi n $.
Умножим все части на $ \frac{4}{3} $:
$ -\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{4}{3} + \pi n \cdot \frac{4}{3} \le x < \frac{\pi}{4} \cdot \frac{4}{3} + \pi n \cdot \frac{4}{3} $.
$ -\frac{5\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3} \le x < \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in [-\frac{5\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z} $.