Номер 268, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x+1}, x_0 = 3;$

2) $f(x) = \frac{x-3}{|x-3|}, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \begin{cases} 2x+3, \text{ если } x<1, \\ x^2+4, \text{ если } x \geq 1, \end{cases} x_0 = 1;$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{3x+15}{x+5}, \text{ если } x \neq -5, \\ 3, \text{ если } x = -5, \end{cases} x_0 = -5.$

Для того чтобы выяснить, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует $f(x_0)$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1) $f(x) = \sqrt{x+1}$, $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Найдем предел функции при $x \to 3$:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \sqrt{x+1} = \sqrt{3+1} = 2$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(3) = 2$ и $\lim_{x \to 3} f(x) = 2$.
Так как $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 3$.

2) $f(x) = \frac{x-3}{|x-3|}$, $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \frac{2-3}{|2-3|} = \frac{-1}{|-1|} = \frac{-1}{1} = -1$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Найдем предел функции при $x \to 2$. В окрестности точки $x=2$ выражение под модулем $x-3$ является отрицательным, следовательно, $|x-3| = -(x-3)$.
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{-(x-3)} = \lim_{x \to 2} (-1) = -1$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(2) = -1$ и $\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.
Так как $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 2$.

3) $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x < 1 \\ x^2+4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$, $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$. Так как $1 \ge 1$, используем вторую часть определения функции:
$f(1) = 1^2 + 4 = 5$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Так как определение функции меняется в точке $x_0=1$, найдем односторонние пределы.
Предел слева (при $x \to 1^-$, т.е. $x < 1$):
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x+3) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
Предел справа (при $x \to 1^+$, т.е. $x > 1$):
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2+4) = 1^2 + 4 = 5$.
Поскольку левый и правый пределы равны, предел функции в точке $x_0=1$ существует и равен 5: $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(1) = 5$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$.
Так как $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 1$.

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{3x+15}{x+5}, & \text{если } x \neq -5 \\ 3, & \text{если } x = -5 \end{cases}$, $x_0 = -5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -5$. Согласно второму условию определения функции:
$f(-5) = 3$.
Функция определена в точке $x_0$.

2. Найдем предел функции при $x \to -5$. Для этого используем первую часть определения функции, так как при вычислении предела рассматриваются значения $x$, близкие к -5, но не равные ему:
$\lim_{x \to -5} f(x) = \lim_{x \to -5} \frac{3x+15}{x+5}$.
При подстановке $x=-5$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Упростим выражение в числителе:
$\lim_{x \to -5} \frac{3(x+5)}{x+5}$.
Сократим дробь на $(x+5)$, так как $x \neq -5$:
$\lim_{x \to -5} 3 = 3$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и предел:
$f(-5) = 3$ и $\lim_{x \to -5} f(x) = 3$.
Так как $\lim_{x \to -5} f(x) = f(-5)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = -5$.