Номер 267, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 7, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 7

y, f($x_0$), 0, $x_0$, x

a

y, 0, $x_0$, x

б

y, f($x_0$), 0, $x_0$, x

в

y, f($x_0$), 0, $x_0$, x

г

y, 0, $x_0$, x

д

y, f($x_0$), 0, $x_0$, x

е

46

График а

1) На графике в точке $x_0$ изображена закрашенная точка, что означает, что функция в этой точке определена и ее значение равно $f(x_0)$. Ответ: да.

2) При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, график функции стремится к одной и той же точке на оси ординат, значение которой равно $f(x_0)$. Это означает, что односторонние пределы равны между собой и равны значению функции. Следовательно, предел существует. Запись: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Ответ: да, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) Как установлено в пунктах 1 и 2, значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0)$, и предел функции в этой точке также равен $f(x_0)$. Ответ: да.

График б

1) В точке $x_0$ на графике изображена "выколотая" (пустая) точка. Это означает, что функция в данной точке не определена. Ответ: нет.

2) При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, график функции стремится к одной и той же "выколотой" точке. Это означает, что левый и правый пределы существуют и равны друг другу. Следовательно, предел функции в этой точке существует. Обозначим значение этого предела буквой $L$. Запись: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$. Ответ: да, $\lim_{x \to x_0} f(x)$ существует.

3) Предел в точке $x_0$ существует, но сама функция в этой точке не определена. Таким образом, они не могут быть равны. Ответ: нет.

График в

1) На графике в точке $x_0$ есть закрашенная точка, значение функции в которой равно $f(x_0)$. Ответ: да.

2) При приближении к $x_0$ слева, функция стремится к значению $f(x_0)$ (левый предел). При приближении к $x_0$ справа, функция стремится к другому значению (значению "выколотой" точки). Так как левый и правый пределы не равны ($\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$), предел функции в точке $x_0$ не существует. Ответ: нет.

3) Вопрос не имеет смысла, так как предел функции в точке $x_0$ не существует. Ответ: вопрос не имеет смысла.

График г

1) На графике в точке $x_0$ есть закрашенная точка, значение функции в которой равно $f(x_0)$. Ответ: да.

2) Данный случай аналогичен графику "в". При приближении к $x_0$ слева функция стремится к одному значению ("выколотая" точка), а при приближении справа — к другому (значение $f(x_0)$). Так как односторонние пределы не равны ($\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$), предел функции в точке $x_0$ не существует. Ответ: нет.

3) Вопрос не имеет смысла, так как предел функции в точке $x_0$ не существует. Ответ: вопрос не имеет смысла.

График д

1) В точке $x_0$ изображена вертикальная асимптота. Функция в этой точке не определена. Ответ: нет.

2) При приближении к $x_0$ слева, значение функции стремится к $+\infty$. При приближении к $x_0$ справа, значение функции стремится к $-\infty$. Поскольку односторонние пределы не равны, предел функции в точке $x_0$ не существует. Ответ: нет.

3) Вопрос не имеет смысла, так как предел функции в точке $x_0$ не существует. Ответ: вопрос не имеет смысла.

График е

1) В точке $x_0$ есть закрашенная точка со значением $f(x_0)$, значит, функция в этой точке определена. Ответ: да.

2) При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, значение функции неограниченно возрастает, то есть стремится к $+\infty$. В этом случае говорят, что предел существует и он равен бесконечности. Запись: $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$. Ответ: да, $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$.

3) Предел в точке $x_0$ равен $+\infty$, а значение функции в этой точке — конечное число $f(x_0)$. Они не равны. Ответ: нет.