Номер 260, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Решите уравнение:

1) $ \cos x - \sin x = \sqrt{2} \sin 7x $

2) $ \sqrt{2}(\cos 4x - \sin 4x) = \cos 8x $

3) $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\sin 2x $

4) $ \sin 5x \sin x = \cos 4x $

5) $ \cos 6x \cos 4x = \sin x \sin 3x $

6) $ \sin 12x = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) $

1)Исходное уравнение: $ \cos x - \sin x = \sqrt{2} \sin 7x $.
Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin 7x $
Зная, что $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, получаем:$ \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x - \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin 7x $
Применяем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $:$ \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin 7x $
$ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin 7x $
Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $:$ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 7x\right) $
Равенство косинусов $ \cos A = \cos B $ выполняется, если $ A = \pm B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $. Рассмотрим два случая:
а) $ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 7x + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ x + \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{\pi}{2} - 7x\right) + 2\pi k $
$ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 7x + 2\pi k $
$ -6x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
$ -6x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}, x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2)Исходное уравнение: $ \sqrt{2}(\cos 4x - \sin 4x) = \cos 8x $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \cos 8x = \cos(2 \cdot 4x) = \cos^2 4x - \sin^2 4x $.$ \cos^2 4x - \sin^2 4x = (\cos 4x - \sin 4x)(\cos 4x + \sin 4x) $.
Подставим это в исходное уравнение:$ \sqrt{2}(\cos 4x - \sin 4x) = (\cos 4x - \sin 4x)(\cos 4x + \sin 4x) $
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos 4x - \sin 4x) $:$ (\cos 4x - \sin 4x) \left[ \sqrt{2} - (\cos 4x + \sin 4x) \right] = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
а) $ \cos 4x - \sin 4x = 0 $
$ \cos 4x = \sin 4x $
Разделим обе части на $ \cos 4x $ (учитывая, что если $ \cos 4x = 0 $, то и $ \sin 4x = 0 $, что невозможно):$ \tan 4x = 1 $
$ 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ \sqrt{2} - (\cos 4x + \sin 4x) = 0 $
$ \cos 4x + \sin 4x = \sqrt{2} $
Используем метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $:$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 4x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 4x \right) = \sqrt{2} $
$ \cos\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 $
$ 4x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k $
$ 4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Заметим, что вторая серия решений $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi k}{4} $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} $ (при четных $ n $). Поэтому общим решением является первая серия.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.

3)Исходное уравнение: $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\sin 2x $.
Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 $:$ 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2\sin 2x $
Зная, что $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:$ 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x \right) = 2\sin 2x $
Применяем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $:$ 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin 2x $
$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin 2x $
Равенство синусов $ \sin A = \sin B $ выполняется, если $ A = B + 2\pi n $ или $ A = \pi - B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим два случая:
а) $ x + \frac{\pi}{3} = 2x + 2\pi n $
$ -x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi n $ (или $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $), $ n, k \in \mathbb{Z} $.
б) $ x + \frac{\pi}{3} = \pi - 2x + 2\pi k $
$ 3x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
$ 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $
$ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

4)Исходное уравнение: $ \sin 5x \sin x = \cos 4x $.
Используем формулу преобразования произведения в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.$ \frac{1}{2}(\cos(5x-x) - \cos(5x+x)) = \cos 4x $
$ \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x) = \cos 4x $
$ \cos 4x - \cos 6x = 2\cos 4x $
$ -\cos 6x = \cos 4x $
$ \cos 6x + \cos 4x = 0 $
Используем формулу преобразования суммы в произведение: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.$ 2\cos\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $
$ 2\cos 5x \cos x = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $ \cos 5x = 0 $
$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $ n=2 $, $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} $. Следовательно, достаточно указать только первую серию решений.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

5)Исходное уравнение: $ \cos 6x \cos 4x = \sin x \sin 3x $.
Используем формулы преобразования произведений в суммы:
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $
Применяем их к обеим частям уравнения:
$ \frac{1}{2}(\cos(6x-4x) + \cos(6x+4x)) = \frac{1}{2}(\cos(x-3x) - \cos(x+3x)) $
$ \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 10x) = \frac{1}{2}(\cos(-2x) - \cos 4x) $
Так как $ \cos(-2x) = \cos 2x $, умножаем обе части на 2:$ \cos 2x + \cos 10x = \cos 2x - \cos 4x $
$ \cos 10x = -\cos 4x $
$ \cos 10x + \cos 4x = 0 $
Используем формулу суммы косинусов:$ 2\cos\frac{10x+4x}{2}\cos\frac{10x-4x}{2} = 0 $
$ 2\cos 7x \cos 3x = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $ \cos 7x = 0 $
$ 7x = \frac{\pi}{2} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos 3x = 0 $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

6)Исходное уравнение: $ \sin 12x = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) $.
Используем формулу приведения $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha $:$ \sin 12x = 2\sin 4x $
Применим формулу синуса тройного угла $ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $ для $ \sin 12x = \sin(3 \cdot 4x) $:$ 3\sin 4x - 4\sin^3 4x = 2\sin 4x $
$ \sin 4x - 4\sin^3 4x = 0 $
Вынесем $ \sin 4x $ за скобки:$ \sin 4x (1 - 4\sin^2 4x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) $ \sin 4x = 0 $
$ 4x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ 1 - 4\sin^2 4x = 0 $
$ \sin^2 4x = \frac{1}{4} $
$ \sin 4x = \pm \frac{1}{2} $.
Это можно решить, преобразовав $ \sin^2 4x $ по формуле понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} $:$ \frac{1-\cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1}{4} $
$ 1 - \cos 8x = \frac{1}{2} $
$ \cos 8x = \frac{1}{2} $
$ 8x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
$ x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.