Номер 259, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Решите уравнение:

1) $\sin 2x + 2\sin^2 3x = 1$;

2) $1 + \cos 6x = \sqrt{3} \cos 3x$;

3) $\cos^2 x + \cos^2 5x = 1$;

4) $\sin^2 2x + \sin^2 6x = \sin^2 3x + \sin^2 5x.$

1) $\sin 2x + 2\sin^2 3x = 1$

Используем формулу понижения степени $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$. Для $\alpha = 3x$ получаем $2\sin^2 3x = 1 - \cos 6x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\sin 2x + (1 - \cos 6x) = 1$

$\sin 2x - \cos 6x = 0$

$\sin 2x = \cos 6x$

Используем формулу приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \cos 6x$

Равенство $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 1:

$\frac{\pi}{2} - 2x = 6x + 2\pi n$

$8x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi n}{4}$

Поскольку $n$ — любое целое число, мы можем заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$

Случай 2:

$\frac{\pi}{2} - 2x = -6x + 2\pi n$

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \cos 6x = \sqrt{3} \cos 3x$

Используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$. В нашем случае $2\alpha = 6x$, значит $\alpha=3x$.

Уравнение принимает вид:

$2\cos^2 3x = \sqrt{3} \cos 3x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2\cos^2 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 3x$ за скобки:

$\cos 3x (2\cos 3x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1:

$\cos 3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

Случай 2:

$2\cos 3x - \sqrt{3} = 0$

$\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos^2 x + \cos^2 5x = 1$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.

Подставим в уравнение:

$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos 2x + 1 + \cos 10x = 2$

$\cos 10x + \cos 2x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{10x+2x}{2}\cos\frac{10x-2x}{2} = 0$

$2\cos 6x \cos 4x = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1:

$\cos 6x = 0$

$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$

Случай 2:

$\cos 4x = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin^2 2x + \sin^2 6x = \sin^2 3x + \sin^2 5x$

Перегруппируем слагаемые:

$\sin^2 6x - \sin^2 5x = \sin^2 3x - \sin^2 2x$

Используем формулу разности квадратов синусов $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$.

Для левой части: $\sin(6x-5x)\sin(6x+5x) = \sin x \sin 11x$

Для правой части: $\sin(3x-2x)\sin(3x+2x) = \sin x \sin 5x$

Уравнение принимает вид:

$\sin x \sin 11x = \sin x \sin 5x$

$\sin x \sin 11x - \sin x \sin 5x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin 11x - \sin 5x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin 11x - \sin 5x = 0$

Используем формулу разности синусов $\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$:

$2\sin\frac{11x-5x}{2}\cos\frac{11x+5x}{2} = 0$

$2\sin 3x \cos 8x = 0$

Отсюда получаем еще два случая:

2.1: $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2.2: $\cos 8x = 0 \implies 8x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что серия решений $x = \pi n$ является частным случаем серии $x = \frac{\pi k}{3}$ (при $k=3n$). Поэтому достаточно оставить только решения из случаев 2.1 и 2.2.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}$, $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.