Номер 254, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Найдите все корни уравнения $\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$, удовлетворяющие неравенству $-1 < x < 2$.

Для решения задачи сначала найдем все корни уравнения $\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$, а затем отберем те из них, которые удовлетворяют неравенству $-1 < x < 2$.

Решим уравнение. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \cos x + \sin x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$

2) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0$

Решим первое уравнение: $\cos x = 0$.

Корни этого уравнения имеют вид: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Но $\cos x$ и $\sin x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, в этом уравнении $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе его части на $\cos x$:

$\frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$\sqrt{3} + \tan x = 0$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Корни этого уравнения имеют вид: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, все решения исходного уравнения задаются двумя сериями корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих интервалу $(-1, 2)$. Для оценки будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Подставим различные целые значения $n$ и проверим выполнение неравенства $-1 < x < 2$.

• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Неравенство $-1 < 1,57 < 2$ выполняется. Значит, $x = \frac{\pi}{2}$ — подходящий корень.
• При $n = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$. Это значение больше 2, поэтому корень не подходит.
• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$. Это значение меньше -1, поэтому корень не подходит.

Из первой серии корней подходит только $x = \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим вторую серию корней: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

Подставим различные целые значения $k$ и проверим выполнение неравенства $-1 < x < 2$.

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3,14}{3} \approx -1,047$. Это значение меньше -1, поэтому корень не подходит.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3,14}{3} \approx 2,093$. Это значение больше 2, поэтому корень не подходит.

При других целых значениях $n$ и $k$ корни будут еще дальше от заданного интервала.

Следовательно, единственный корень уравнения, удовлетворяющий заданному неравенству, это $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$