Номер 249, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Решите уравнение:

1) $2\sin^2 3x - 3\sin 3x + 1 = 0;$

2) $6\cos^2 5x + 5\cos 5x - 1 = 0;$

3) $\text{tg}^2 6x - 3 = 0;$

4) $\text{ctg}^2 2x - 6\text{ctg} 2x + 5 = 0.$

1) $2\sin^2 3x - 3\sin 3x + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin 3x$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sin 3x$, при этом $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня ($t=1/2$ и $t=1$) удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену.

Возникает два случая:

a) $\sin 3x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$3x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin 3x = 1$

Это частный случай, решением которого является:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) $6\cos^2 5x + 5\cos 5x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos 5x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \cos 5x$, при этом $|y| \le 1$.

Получаем уравнение:

$6y^2 + 5y - 1 = 0$

Найдем корни. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

$y_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Оба корня ($y=-1$ и $y=1/6$) удовлетворяют условию $|y| \le 1$. Выполним обратную замену.

Рассмотрим два случая:

a) $\cos 5x = -1$

Это частный случай, решение:

$5x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $\cos 5x = \frac{1}{6}$

Решение этого уравнения:

$5x = \pm \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{5} \arccos(\frac{1}{6}) + \frac{2\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{1}{5} \arccos(\frac{1}{6}) + \frac{2\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) $\text{tg}^2 6x - 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения:

$\text{tg}^2 6x = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\text{tg} 6x = \sqrt{3}$ или $\text{tg} 6x = -\sqrt{3}$

Эти два уравнения можно объединить в одно:

$\text{tg} 6x = \pm \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$6x = \pm \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$6x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4) $\text{ctg}^2 2x - 6\text{ctg} 2x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{ctg} 2x$. Пусть $z = \text{ctg} 2x$.

Уравнение примет вид:

$z^2 - 6z + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко найти по теореме Виета: $z_1 + z_2 = 6$, $z_1 \cdot z_2 = 5$. Отсюда $z_1 = 1, z_2 = 5$.

Выполним обратную замену:

a) $\text{ctg} 2x = 1$

Решение этого уравнения:

$2x = \text{arccot}(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

б) $\text{ctg} 2x = 5$

Решение этого уравнения:

$2x = \text{arccot}(5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2} \text{arccot}(5) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{2} \text{arccot}(5) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.