Номер 248, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Вычислите:

1) $ \cos \left( \arcsin \frac{4}{7} \right); $

2) $ \sin \left( \arccos \frac{1}{4} \right); $

3) $ \sin \left( \operatorname{arctg} 8 \right); $

4) $ \cos \left( \operatorname{arcctg} (-0.3) \right); $

5) $ \operatorname{ctg} \left( \arcsin \frac{4}{9} \right); $

6) $ \operatorname{tg} \left( \operatorname{arcctg} 10 \right). $

1) Вычислить $\cos(\arcsin\frac{4}{7})$.
Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{7}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin\alpha = \frac{4}{7}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Поскольку $\sin\alpha = \frac{4}{7} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этой четверти косинус неотрицателен: $\cos\alpha \ge 0$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Отсюда $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16}{49} = \frac{49 - 16}{49} = \frac{33}{49}$.
Так как $\cos\alpha \ge 0$, извлекаем положительный корень: $\cos\alpha = \sqrt{\frac{33}{49}} = \frac{\sqrt{33}}{7}$.
Следовательно, $\cos(\arcsin\frac{4}{7}) = \frac{\sqrt{33}}{7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{33}}{7}$.

2) Вычислить $\sin(\arccos\frac{1}{4})$.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{4}$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = \frac{1}{4}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Поскольку $\cos\alpha = \frac{1}{4} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти: $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этой четверти синус неотрицателен: $\sin\alpha \ge 0$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ выразим $\sin^2\alpha$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Так как $\sin\alpha \ge 0$, получаем $\sin\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Следовательно, $\sin(\arccos\frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{4}$.

3) Вычислить $\sin(\operatorname{arctg}8)$.
Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}8$. Это означает, что $\operatorname{tg}\alpha = 8$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Так как $\operatorname{tg}\alpha = 8 > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), где $\sin\alpha > 0$.
Воспользуемся тождеством $1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Сначала найдем котангенс: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{8}$.
Подставим в тождество:
$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 + \frac{1}{64} = \frac{64+1}{64} = \frac{65}{64}$.
Отсюда $\sin^2\alpha = \frac{64}{65}$.
Поскольку $\sin\alpha > 0$, извлекаем положительный корень: $\sin\alpha = \sqrt{\frac{64}{65}} = \frac{8}{\sqrt{65}} = \frac{8\sqrt{65}}{65}$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{65}}{65}$.

4) Вычислить $\cos(\operatorname{arcctg}(-0,3))$.
Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg}(-0,3)$. Это означает, что $\operatorname{ctg}\alpha = -0,3 = -\frac{3}{10}$ и $0 < \alpha < \pi$.
Так как $\operatorname{ctg}\alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где $\cos\alpha < 0$.
Воспользуемся тождеством $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
Сначала найдем тангенс: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{1}{-3/10} = -\frac{10}{3}$.
Подставим в тождество:
$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \left(-\frac{10}{3}\right)^2 = 1 + \frac{100}{9} = \frac{9+100}{9} = \frac{109}{9}$.
Отсюда $\cos^2\alpha = \frac{9}{109}$.
Так как $\cos\alpha < 0$, извлекаем отрицательный корень: $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{9}{109}} = -\frac{3}{\sqrt{109}} = -\frac{3\sqrt{109}}{109}$.
Ответ: $-\frac{3\sqrt{109}}{109}$.

5) Вычислить $\operatorname{ctg}(\arcsin\frac{4}{9})$.
Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{9}$. Это означает, что $\sin\alpha = \frac{4}{9}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Так как $\sin\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где $\cos\alpha \ge 0$ и $\operatorname{ctg}\alpha \ge 0$.
Найдем котангенс по формуле $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Для этого сначала найдем $\cos\alpha$.
Из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ получаем:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^2 = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81-16}{81} = \frac{65}{81}$.
Так как $\cos\alpha \ge 0$, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{65}{81}} = \frac{\sqrt{65}}{9}$.
Теперь вычислим котангенс:
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sqrt{65}/9}{4/9} = \frac{\sqrt{65}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{65}}{4}$.

6) Вычислить $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}10)$.
Это выражение является примером взаимно обратных функций. Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg}10$. По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg}\alpha = 10$.
Нам нужно найти $\operatorname{tg}\alpha$.
Тангенс и котангенс связаны соотношением $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha}$.
Подставляя значение $\operatorname{ctg}\alpha$, получаем: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{10}$.
Следовательно, $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}10) = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.