Номер 241, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Найдите:

1) arcsin $\frac{1}{2}$;

2) arccos $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) arctg $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) arcctg $\sqrt{3}$;

5) arcsin $(-\frac{\sqrt{2}}{2})$;

6) arccos $(-\frac{1}{2})$;

7) arctg $(-\sqrt{3})$;

8) arcctg $(-1)$.

1) $\arcsin\frac{1}{2}$

По определению арксинуса, $\arcsin a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Нам нужно найти угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

2) $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

По определению арккосинуса, $\arccos a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Нам нужно найти угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

3) $\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$

По определению арктангенса, $\text{arctg } a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

4) $\text{arcctg}\sqrt{3}$

По определению арккотангенса, $\text{arcctg } a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.
Следовательно, $\text{arcctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

5) $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Арксинус является нечетной функцией, то есть $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Поэтому, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

6) $\arccos(-\frac{1}{2})$

Для арккосинуса справедливо свойство: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
Поэтому, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$. Значит, $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

7) $\text{arctg}(-\sqrt{3})$

Арктангенс является нечетной функцией, то есть $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
Поэтому, $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значит, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

8) $\text{arcctg}(-1)$

Для арккотангенса справедливо свойство: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.
Поэтому, $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$. Значит, $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.