gdz.top
Номер 239, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Уравнения tg x = b и ctg x = b - номер 239, страница 41.
№238
№239 (с. 41)
Условие. №239 (с. 41)
239. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\text{tg}\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Решение. №239 (с. 41)
Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся общей формулой для корней уравнения вида $\tg(y) = a$, которая имеет вид $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).
Исходное уравнение:
$\tg(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Применяя общую формулу, получаем:
$4x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Значение арктангенса $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $-\frac{\pi}{6}$. Подставим это значение в уравнение:
$4x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:
$4x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 12:
$4x = -\frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + \pi n$
$4x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}$
Мы получили общее решение уравнения. Теперь нам нужно найти наименьший положительный корень. Для этого нужно найти наименьшее целое значение $n$, при котором $x > 0$.
Решим неравенство:
$-\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4} > 0$
$\frac{\pi n}{4} > \frac{5\pi}{48}$
Разделим обе части на $\pi$ и умножим на 4:
$n > \frac{5 \cdot 4}{48}$
$n > \frac{20}{48}$
$n > \frac{5}{12}$
Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 1$.
Подставим $n=1$ в формулу для $x$, чтобы найти наименьший положительный корень:
$x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi \cdot 1}{4} = -\frac{5\pi}{48} + \frac{12\pi}{48} = \frac{-5\pi + 12\pi}{48} = \frac{7\pi}{48}$
Этот корень является положительным и наименьшим, так как он соответствует наименьшему возможному целому $n$.
Ответ: $\frac{7\pi}{48}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 239 расположенного на странице 41 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №239 (с. 41), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.