Номер 234, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{7\pi x}{5} = 0;$

2) $\sin(5\pi \sqrt{x}) = -1;$

3) $\sin \frac{6\pi x^2}{5} = 1.$

1) Решим уравнение $sin\frac{7\pi x}{5} = 0$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = 0$, решение которого имеет вид $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).
В нашем случае $t = \frac{7\pi x}{5}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$\frac{7\pi x}{5} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Разделим обе части уравнения на $\pi$ (поскольку $\pi \neq 0$):
$\frac{7x}{5} = n$
Умножим обе части на 5:
$7x = 5n$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{5n}{7}$
Ответ: $x = \frac{5n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $sin(5\pi\sqrt{x}) = -1$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Уравнение вида $sin(t) = -1$ имеет решение $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = 5\pi\sqrt{x}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$5\pi\sqrt{x} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$5\sqrt{x} = -\frac{1}{2} + 2n$
$\sqrt{x} = \frac{2n - 1/2}{5} = \frac{4n - 1}{10}$
Так как арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие:
$\frac{4n-1}{10} \ge 0$
$4n - 1 \ge 0$
$4n \ge 1$
$n \ge \frac{1}{4}$
Поскольку $n$ - целое число, то $n$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$. То есть, $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа).
Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = \frac{4n - 1}{10}$ в квадрат:
$x = \left(\frac{4n - 1}{10}\right)^2 = \frac{(4n - 1)^2}{100}$
Ответ: $x = \frac{(4n - 1)^2}{100}$, где $n \in \mathbb{N}$.

3) Решим уравнение $sin\frac{6\pi x^2}{5} = 1$.
Уравнение вида $sin(t) = 1$ имеет решение $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{6\pi x^2}{5}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$\frac{6\pi x^2}{5} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\frac{6x^2}{5} = \frac{1}{2} + 2n$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{6x^2}{5} = \frac{1 + 4n}{2}$
Теперь выразим $x^2$. Умножим обе части на $\frac{5}{6}$:
$x^2 = \frac{5(1 + 4n)}{12}$
Так как $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x^2 \ge 0$:
$\frac{5(1 + 4n)}{12} \ge 0$
$1 + 4n \ge 0$
$4n \ge -1$
$n \ge -\frac{1}{4}$
Поскольку $n$ - целое число, то $n$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$.
Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{5(4n + 1)}{12}}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{5(4n + 1)}{12}}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.