Номер 227, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Найдите все корни уравнения $ \cos \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} $.

Сначала решим тригонометрическое уравнение:
$\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$
Аргумент косинуса должен быть равен:
$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Это дает две серии решений:
1) $3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$3x = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k$
$3x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$
$x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

2) $3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$3x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$3x = \frac{-4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k$
$3x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь найдем все корни, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$.
Приведем границы интервала к общему знаменателю 36:
$-\frac{\pi}{6} = -\frac{6\pi}{36}$
$\frac{5\pi}{6} = \frac{30\pi}{36}$
Таким образом, ищем корни в интервале $(-\frac{6\pi}{36}, \frac{30\pi}{36})$.

Для первой серии решений $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$
Подставим в неравенство:
$-\frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3} < \frac{5\pi}{6}$
Умножим все части неравенства на $\frac{36}{\pi}$:
$-6 < 7 + 24k < 30$
$-13 < 24k < 23$
$-\frac{13}{24} < k < \frac{23}{24}$
Единственное целое значение $k$ в этом промежутке — это $k=0$.
При $k=0$, $x = \frac{7\pi}{36}$.

Для второй серии решений $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$
Подставим в неравенство:
$-\frac{\pi}{6} < -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3} < \frac{5\pi}{6}$
Умножим все части неравенства на $\frac{36}{\pi}$:
$-6 < -1 + 24k < 30$
$-5 < 24k < 31$
$-\frac{5}{24} < k < \frac{31}{24}$
Целые значения $k$ в этом промежутке — это $k=0$ и $k=1$.
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{36}$.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{36} + \frac{24\pi}{36} = \frac{23\pi}{36}$.

Таким образом, корни уравнения, удовлетворяющие заданному неравенству, это $-\frac{\pi}{36}$, $\frac{7\pi}{36}$ и $\frac{23\pi}{36}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{36}, \frac{7\pi}{36}, \frac{23\pi}{36}$.