Номер 221, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin 4\alpha \cos 7\alpha;$

2) $\sin 2\alpha \sin \alpha;$

3) $\cos 25^\circ \cos 50^\circ;$

4) $\sin \frac{5\pi}{24} \cos \frac{11\pi}{24};$

5) $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta);$

6) $\cos \alpha \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right).$

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму используются следующие формулы:

• $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$
• $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$
• $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$

1)

Для преобразования произведения $\sin 4\alpha \cos 7\alpha$ в сумму используем формулу $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.

В нашем случае $A = 4\alpha$ и $B = 7\alpha$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin 4\alpha \cos 7\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha + 7\alpha) + \sin(4\alpha - 7\alpha))$

$= \frac{1}{2}(\sin(11\alpha) + \sin(-3\alpha))$

Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$= \frac{1}{2}(\sin(11\alpha) - \sin(3\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin(11\alpha) - \sin(3\alpha))$.

2)

Для преобразования произведения $\sin 2\alpha \sin \alpha$ в сумму используем формулу $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.

Здесь $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$.

Подставляем в формулу:

$\sin 2\alpha \sin \alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha))$

$= \frac{1}{2}(\cos(\alpha) - \cos(3\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(3\alpha))$.

3)

Для преобразования произведения $\cos 25^\circ \cos 50^\circ$ в сумму используем формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.

Пусть $A = 50^\circ$ и $B = 25^\circ$.

Подставляем значения:

$\cos 50^\circ \cos 25^\circ = \frac{1}{2}(\cos(50^\circ + 25^\circ) + \cos(50^\circ - 25^\circ))$

$= \frac{1}{2}(\cos(75^\circ) + \cos(25^\circ))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 75^\circ + \cos 25^\circ)$.

4)

Используем формулу $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$ для произведения $\sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24}$.

Здесь $A = \frac{5\pi}{24}$ и $B = \frac{11\pi}{24}$.

$\sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{5\pi}{24} + \frac{11\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{24} - \frac{11\pi}{24}\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{16\pi}{24}\right) + \sin\left(-\frac{6\pi}{24}\right)\right)$

Упрощаем дроби в аргументах синусов:

$= \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Используя нечетность синуса, $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$= \frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $\frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\right)$.

5)

Для преобразования произведения $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)$ в сумму воспользуемся формулой $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.

В данном случае $A = \alpha + \beta$ и $B = \alpha - \beta$.

Подставляем в формулу:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) - \cos((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)))$

Упрощаем выражения в скобках:

$A - B = (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) = 2\beta$

$A + B = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 2\alpha$

Таким образом, получаем:

$= \frac{1}{2}(\cos(2\beta) - \cos(2\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(2\beta) - \cos(2\alpha))$.

6)

Для преобразования произведения $\cos \alpha \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ в сумму применим формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.

Пусть $A = \alpha$ и $B = \frac{\pi}{3} - \alpha$.

$\cos \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \cos\left(\alpha - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right)\right)$

Упростим аргументы косинусов:

$A+B = \frac{\pi}{3}$

$A-B = 2\alpha - \frac{\pi}{3}$

Получаем:

$= \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)\right)$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, поэтому можем подставить это значение:

$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$.